explicação:
temos uma proporçao ( igualdade de duas fraçoes) entao podemos multiplicar cruzado:
[tex]5.(x + \sqrt{x + 1} ) = 11.(x - \sqrt{x + 1} )[/tex]
faz o chuveirinho ( multiplica o numero de fora por todos os de dentro dos parenteses ):
[tex]5x + 5 \sqrt{x + 1} = 11x - 11 \sqrt{x + 1} [/tex]
passe numeros com letra para um lado e numeros sem letra pro outro.
[tex] \small{5x - 11x + 5 \sqrt{x + 1} + 11 \sqrt{x + 1} = 0}[/tex]
junte termos semelhantes:
[tex] - 6x + 16 \sqrt{x + 1} = 0[/tex]
....
agora passa aquele [tex] + 16 \sqrt{x + 1} [/tex]pro outro lado:
[tex] - 6x = - 16 \sqrt{x + 1} [/tex]
como qualquer equaçao irracional ( que possua raiz quadrada) devemos elevar os dois lados ao quadrado para conseguir eliminar a tal raiz.
[tex] {( - 6x)}^{2} = {( - 16 \sqrt{x + 1} })^{2} [/tex]
resolvendo estas potencias:
[tex] {( - 6)}^{2} . {x}^{2} = {( - 16)}^{2} . {( \sqrt{x + 1} })^{2} [/tex]
[tex]36 {x}^{2} = 256.( \sqrt{x + 1} )^{2} [/tex]
lembre que ali tem uma raiz quadrado ao quadrado e pela regra podemos cortar tudo e sobra só a parte de dentro da raiz
[tex]36 {x}^{2} = 256.(x + 1)[/tex]
faz esta distributiva( multiplica o de fora por todos os de dentro ):
[tex]36 {x}^{2} = 256x + 256[/tex]
organiza pra fazer uma bhakasra:
[tex]36 {x}^{2} - 256x - 256 = 0[/tex]
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = ( - 256)² - 4 . 36 . (-256)
Δ = 65536 + 36864
Δ = 102400
[tex]x = \frac{ - b \: ± \: \sqrt{ Δ}}{2 \: . \: a} [/tex]
[tex]x = \frac{ - ( - 256) \: ± \: \sqrt{ 102400}}{2 \: . \: 36} [/tex]
[tex]x = \frac{ 256 \: ± \: 320}{72} [/tex]
[tex]x 1= \frac{ 256 \: + \: 320}{72} = 8[/tex]
[tex]x2 = \frac{256 - 320}{72} = \frac{ - 64}{72} = - \frac{ 8}{9} [/tex]
TEMOS QUE COMPROVAR QUE ESTAS SAO RESPOSTAS PORQUE É UMA EQUAÇAO IRRACIONAL...
pegue o original e substitua os dois valores cada um em sua vez:
com o x = 8
[tex] \frac{x + \sqrt{x + 1} }{x - \sqrt{x + 1} } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{8 + \sqrt{8 + 1} }{8 - \sqrt{8 + 1} } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{8 + \sqrt{9} }{8 - \sqrt{9} } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{8 + 3}{8 - 3} = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{11}{5} = \frac{11}{5} [/tex]
veja que deu o mesmo numero dos dois lados da equaçao entao isso comprova que 8 é sim uma das respostas.
vamos ver a outra que achamos:
x = - 8/9
[tex] \frac{x + \sqrt{x + 1} }{x - \sqrt{x + 1} } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{ - \frac{8}{9} + \sqrt{ - \frac{8}{9} + 1 } }{ - \frac{8}{9} - \sqrt{ - \frac{8}{9} + 1 } } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{ - \frac{8}{9} + \sqrt{ \frac{1}{9} } }{ - \frac{8}{9} - \sqrt{ \frac{1}{9} } } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{ - \frac{8}{9} + \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{9} } }{ - \frac{8}{9} - \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{9} } } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{ - \frac{8}{9} + \frac{1}{3} }{ - \frac{8}{9} - \frac{1}{3} } = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{ - \frac{5}{9} }{ - \frac{11}{9} } = \frac{11}{5} [/tex]
fazendo esta divisao de fracoes:
[tex] - \frac{5}{9} \: . \: - \frac{9}{11} = \frac{11}{5} [/tex]
[tex] \frac{45}{99} = \frac{11}{5} [/tex]
simplificando por 9 esta fraçao:
[tex] \frac{5}{11} = \frac{11}{5} [/tex]
viu? nao deu certo... ficou numeros diferentes no fim. entao esse x = - 8/9 nao vai ser uma das respostas.
