Vamos definir duas propriedades básicas da potenciação e, a partir delas, concluiremos que uma base elevada a um expoente negativo é igual ao seu inverso.
Propriedade 1
Numa multiplicação de potências de bases iguais, conserva-se a base e soma-se os expoentes.
[tex]a {}^{n} + a {}^{m} = a {}^{n + m} [/tex]
Exemplo:
[tex]2 {}^{2} \times {2}^{3} = 2 {}^{2 + 3} = 2 {}^{5} [/tex]
Se você desenvolver as potências individualmente verá que o número de fatores 2 é exatamente a soma dos expoentes.
[tex]2 {}^{2} \times 2 {}^{3} \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2[/tex]
Propriedade 2
Todo número elevado a zero é 1.
Tudo bem, isso não faz sentido mesmo. A questão é que precisamos saber quanto vale um número elevado a zero, e para isso, queremos que a propriedade 1 continue valendo.
Vamos usar a propriedade 1 para descobrir o que é um número elevado a zero.
Lembrando que a propriedade 1 diz que, bases iguais, somam-se os expoentes. Vamos colocar um expoente zero e ver o que rola.
[tex]2 {}^{0} \times 2 {}^{3} = 2 {}^{0 + 3} = 2 {}^{3} [/tex]
Observe que nada mudou, 2³ continuou sendo 2³. Então, se isso é uma multiplicação, qual número que se eu multiplicar por 2³ continua sendo 2³ ?
Só pode ser 1. Um vezes qualquer coisa é a própria coisa.
Então, definimos que, todo número elevado a zero é 1.
Generalizando, temos:
[tex]a {}^{0} = 1[/tex]
Onde "a", é qualquer número diferente de zero.
Agora vamos definir o que é um número elevado a expoente negativo, utilizando novamente a propriedade 1
Lembre-se que, bases iguais, somam-se os expoentes.
[tex]2 {}^{3} \times 2 {}^{ - 3} = 2 {}^{3 + ( - 3)} = 2 {}^{0} = 1[/tex]
Veja que isso resultou em 2⁰, mas todo número elevado a zero é 1.
Qual número que, devemos multiplicar 2³ para que isso resulte em 1 ?
Devemos multiplicar 2³ pelo seu inverso, ou seja, 1/2³.
Qualquer número multiplicado pelo seu inverso é igual a 1.
Note:
[tex] \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1[/tex]
Então, 2-³ deve ser o inverso de 2³.
[tex]2 {}^{3} \times 2 {}^{ - 3} = 2 {}^{3} \times \frac{1}{2 {}^{3} } = \frac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 } = 1[/tex]
Generalizando, todo número elevado a um expoente negativo, é igual ao inverso desse número elevado aquele expoente.
[tex]a {}^{ - n} = \frac{1}{a {}^{n} } [/tex]
Então, 3-⁵ = 1/3⁵
