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qual a derivada da funçao y²=2x³ ?

Sagot :

SubGui

Olá, boa tarde.

Devemos calcular a derivada da função [tex]y^2=2x^3[/tex].

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]x[/tex]:

[tex]\dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}(2x^3)[/tex]

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

  • A derivada de uma função [tex]y=y(x)[/tex] é dita implícita e é calculada pela regra da cadeia: [tex]\dfrac{d}{dx}(y(x))=y'(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}[/tex].
  • A derivada é um operador linear, logo vale que: [tex]\dfrac{d}{dx}(a\cdot f(x))=a\cdot \dfrac{df}{dx}[/tex], em que [tex]a[/tex] é uma constante.
  • A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex].

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

[tex](y^2)'\cdot \dfrac{dy}{dx}=2\cdot (x^3)'[/tex]

Aplique a regra da potência

[tex]2\cdot y^{2-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=2\cdot3\cdot x^{3-1}[/tex]

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

[tex]2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=6x^2[/tex]

Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]2y,~y\neq0[/tex]

[tex]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6x^2}{2y}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2}{y}[/tex]

Calculando a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade [tex]y^2=2x^3[/tex], temos:

[tex]\sqrt{y^2}=\sqrt{2x^3}\\\\\\ y=\pm~\sqrt{2x^3}[/tex]

Substituímos este resultado no passo anterior

[tex]\dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}~~\checkmark[/tex]

Esta é a derivada desta função.

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