Olá, bom dia.
Devemos resolver a seguinte integral indefinida:
[tex]\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx}[/tex]
Para isso, utilizaremos a técnica de integração por partes: [tex]\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}[/tex].
Para escolhemos as funções que serão a variável [tex]u[/tex] e o diferencial [tex]dv[/tex], utilizamos o critério LIATE: dá-se prioridade, na escolha de [tex]u[/tex], às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de [tex]x[/tex]), Trigonométricas e Exponencias, nesta ordem.
Com base nesta propriedade, escolhemos [tex]u=x[/tex] e [tex]dv=\sin(x)\,dx[/tex].
Diferenciamos a expressão em [tex]u[/tex], de modo a encontrarmos o diferencial [tex]du[/tex] e integramos a expressão em [tex]dv[/tex], de modo a encontrarmos a variável [tex]v[/tex].
[tex](u)'=(x)'\\\\\\\dfrac{du}{dx}=1\\\\\\ \Rightarrow du=dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin(x)\,dx}\\\\\\ \Rightarrow v=-\cos(x)[/tex]
Assim, teremos:
[tex]\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx=x\cdot (-\cos(x))-\int (-\cos(x))\,dx}[/tex]
Aplique a regra da constante: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}[/tex] e multiplique os termos
[tex]\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx=-x\cos(x)+\int\cos(x)\,dx}[/tex]
Calcule a integral da função cosseno, sabendo que [tex]\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C[/tex]
[tex]\displaystyle{\int x\cdot \sin(x)\,dx=-x\cos(x)+\sin(x)+C,~C\in\mathbb{R}~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta integral e é a resposta contida na letra c).
