Temos o seguinte limite:
[tex]\lim_{x \to \: \infty } \ln(x {}^{2} + 1) - \ln(1 + 2x {}^{2} ) \\ [/tex]
Pela propriedade de log's, sabemos que:
[tex] \ln(a) - \ln(b) = \ln \left( \frac{a}{b} \right) \\ [/tex]
Aplicando no nosso limite, temos que:
[tex]\lim_{x \to \: \infty } \ln \left( \frac{x {}^{2} + 1}{1 + 2x {}^{2} } \right )\\ [/tex]
Tem uma propriedade de limites que diz:
[tex]\lim_{x \to \: a } \ln(f(x)) \: \to \: \ln(\lim_{x \to \: a } f(x)) \\ [/tex]
Portanto, temos que:
[tex] \ln \left(\lim_{x \to \: \infty } \frac{x {}^{2} + 1}{1 + 2x {}^{2} } \right) \\ [/tex]
Vamos dividir todos os termos pelo de maior grau, ou seja, x²:
[tex] \ln \left(\lim_{x \to \: \infty } \frac{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{2} } }{ \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{2x {}^{2} }{x {}^{2} } } \right) \: \to \: \ln \left(\lim_{x \to \: a } \frac{1 + 0}{0 + 2} \right)\\ \\ \ln \left(\lim_{x \to \: \infty } \frac{1}{2} \right) \: \to \: \ln \left( \frac{1}{2} \right) \: ou \: - \ln(2)[/tex]
Portanto podemos concluir que:
[tex] \boxed{\lim_{x \to \: \infty } \ln(x {}^{2} + 1) - \ln(1 + 2x {}^{2} ) = \ln \left( \frac{1}{2} \right)}\\ [/tex]
Temos o seguinte limite:
[tex]\lim_{x \to \infty } \left( \frac{2x + 1}{2x} \right) {}^{x} \\ [/tex]
Temos um limite fundamental, muito parecido com esse, que é dado por:
[tex]\lim_{x \to \: \infty } \left(1 + \frac{1}{x} \right) {}^{x} = e \\ [/tex]
Modificando a expressão do limite, temos:
[tex]\lim_{x \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{2x} \right) {}^{x} \\ [/tex]
Para que o 1/x do limite fundamental apareça, vamos fazer uma substituição. Digamos então que:
[tex] \frac{1}{2x} = \frac{1}{h} \: \to \: h = 2x \: \to \: x = \frac{h}{2} \\ [/tex]
Substituindo essas informações no limite:
[tex]\lim_{h \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ \frac{h}{2} } \\ [/tex]
Se h = 2x e x tende para infinito, então h também tende para infinito, por isso podemos manter o valor a qual o "x" tende. Observe que temos quase o limite fundamental, a única coisa que está diferente é o expoente, mas podemos escrever essa expressão da seguinte maneira:
[tex]\lim_{h \to \: \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ h } \right ]^{ \frac{1}{2} } \: \to \:\left[ \lim_{h \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ h } \right ]^{ \frac{1}{2} } \\ [/tex]
Pronto, chegamos no limite fundamental, então vamos substituir o valor dele:
[tex]\left[ \lim_{h \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ h } \right ]^{ \frac{1}{2} } = e {}^{ \frac{1}{2} } \\ [/tex]
Portanto podemos concluir que:
[tex] \boxed{\lim_{x \to \: \infty } \left( \frac{2x + 1}{2x} \right) {}^{x} = e {}^{ \frac{1}{2} } }[/tex]
Espero ter ajudado
