[tex](a) f(x) = \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \\ [/tex]
Para encontrar o domínio dessa função logarítmica, basta analisar o seu logaritmando, pois como sabemos, uma função logarítmica carrega com si as seguintes restrições:
[tex] \log_{a}(b) \: \to \: b > 0 , \: a > 0 \: e \: a \neq \: 1[/tex]
Como podemos ver, a base é maior que 0 e diferente de 1, portanto vamos fazer apenas a análise do logaritmando:
[tex](x - 1) > 0 \: \to \: x > 1[/tex]
Portanto o domínio é:
[tex]D = \{x\in \mathbb{R} \: | \: x > 1 \}[/tex]
Agora vamos achar as assíntotas. Iniciando pela assíntota horizontal. Como sabemos, para que uma função tenha assíntota Horizontal, ela deve cumprir uma dessas duas condições:
[tex] \lim_{x \to \: + \infty }f(x) = b , \: b \in \mathbb{R} \\ \text{ou} \\ \lim_{x \to \: - \infty }f(x) = b , \: b \in \mathbb{R} \\ \sf Caso \: exista , \: ent\tilde{a}o \: a \: ass\acute{i}ntota \: é \: y = b[/tex]
Vamos analisar a função quando x tende a ±∞:
[tex]\lim_{x \to \: + \infty } \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \: \to \: \lim_{x \to \: + \infty } \log_{ \frac{1}{2} }( \infty - 1) \: \to \:\lim_{x \to \: + \infty } \infty \: \to \: \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \text{ou} \\ \lim_{x \to \: - \infty } \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \: \to \: \lim_{x \to \: - \infty } \log_{ \frac{1}{2} }( - \infty - 1) \: \to \:\lim_{x \to \: - \infty } - \infty \: \to \: - \infty [/tex]
Logo, podemos concluir que não existe assíntota Horizontal para essa função. Para finalizar a analise da função, vamos agora ver a assíntota vertical, para isso temos que analisar qual o valor que torna essa função Indeterminada, ou seja, vamos ver qual valor afeta o seu domínio:
[tex] \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \: \to \: x - 1 = 0 \: \to \: x = 1 \\ [/tex]
Portanto a assíntota vertical dessa função é x = 1, pois como vimos, o logaritmando deve ser maior que 0, já que 0 torna a função Indeterminada.
[tex]g(x) = \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ - x} + 2 \\ [/tex]
O domínio dessa função são todos os números reais, pois as restrições para o domínio de uma função exponencial é dada por:
[tex]g(x) = a {}^{x} \: \to \: a> 0 \: \ e \: a\neq1[/tex]
Como podemos ver, a base é > 0 e ≠ 1. Portanto o domínio é:
[tex]D = \mathbb{R}[/tex]
[tex]\lim_{x \to \: - \infty } \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ - x} + 2 \: \to \: \lim_{x \to \: - \infty } \cancel{\frac{1}{ \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ \infty } } } {}^{0} + 2 \: \to \: + 2 \: \: \: \: \\ \text{ou} \\ \lim_{x \to \: + \infty } \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ - x} + 2 \: \to \: \lim_{x \to \: + \infty } {\frac{1}{ \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ \infty} }} + 2 \: \to \: + \infty \: \: \: \: [/tex]
Portanto podemos dizer que a assíntota horizontal dessa função é y = 2.
Essa função não possui assíntota Vertical, já que não há nenhuma valor de x que torne essa função Indeterminada.
Espero ter ajudado
