A função F cuja derivada coincide com a função dada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}F(\theta)= \int 7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta = -21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + K\end{gathered}$}[/tex]
O operador que temos que aplicar aqui é a integração, visto que, uma primitiva é justamente isso, uma função que quando derivada coincide com a função que você tinha antes. Ou seja, queremos saber qual a primitiva de f, logo vamos fazer a integral indefinida de f:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int f(\theta)\,d\theta = \int 7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta\end{gathered}$}[/tex]
Logo, temos que integrar:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int 7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta\end{gathered}$}[/tex]
Pela propriedade de multiplicação por escalar da integral, podemos escrever que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int cf(x)\,dx = c\cdot \int f(x)\,dx\end{gathered}$}[/tex]
Então podemos tirar o 7 da integral, ficando:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}7 \int \sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta\end{gathered}$}[/tex]
Agora vamos fazer uma pequena substituição para nos ajudar a visualizar a integral imediata, vamos dizer que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\phi = \frac{\theta}{3} \Rightarrow d\theta = 3d\phi\end{gathered}$}[/tex]
Então fazendo a substituição temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}7 \int 3\sin\phi\,d\phi\end{gathered}$}[/tex]
Novamente aplicando a propriedade da multiplicação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}21 \int \sin\phi\,d\phi\end{gathered}$}[/tex]
E agora temos uma integral imediata, qual função que quando derivada dá sen? -cos, então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}21 \int \sin\phi\,d\phi = -21\cos\phi+K\end{gathered}$}[/tex]
Voltando para a variável original, e finalizando:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int 7\sin\frac{\theta}{3}\,d\theta = -21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + K\end{gathered}$}[/tex]
Para verificar nosso resultado, podemos derivar a primitiva e devemos chegar na função original, vamos fazer isso para ver que realmente dá certo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) = \frac{d}{d\theta}\left(-21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + K\right)\end{gathered}$}[/tex]
Pela propriedade de soma das derivadas temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) = \frac{d}{d\theta}-21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + \frac{d}{d\theta}K\end{gathered}$}[/tex]
Como K é uma constante, sua derivada é zero, então ficamos apenas com:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) = \frac{d}{d\theta}\left(-21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right)\right)\end{gathered}$}[/tex]
Pela regra da cadeia temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}f(g(\theta)) = g'(\theta)f'(g(\theta))\end{gathered}$}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) =7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Confirmando nosso resultado.
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respodo nos comentários.
Funções em anexo.
Primitiva com K = 0.
Veja mais sobre em:
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brainly.com.br/tarefa/42212392
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