Olá, boa noite.
Suponha que a temperatura [tex]T(t)[/tex] de um corpo imerso em um meio com temperatura constante e igual a [tex]20~\bold{^{\circ}C}[/tex] seja tal que [tex]T(0)=80~\bold{^{\circ}C}[/tex]. Segundo a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação [tex]T'(t)[/tex] é proporcional à diferença entre as temperaturas [tex]T(t)[/tex] e [tex]20~\bold{^{\circ}C}[/tex]. Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a [tex]-2[/tex], segue que:
[tex]T'(t)=-2\cdot(T(t)-20),~t>0[/tex]
Devemos determinar:
a) A função temperatura [tex]T(t)[/tex]
Para isso, devemos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem, de coeficientes constantes. Neste caso, esta se torna uma equação diferencial separável, a qual podemos reescrever da seguinte forma:
[tex]T'(t)=\dfrac{dT}{dt}\\\\\\ \dfrac{dT}{dt}=-2\cdot(T(t)-20)\\\\\\\Rightarrow \dfrac{dT}{T-20}=-2\,dt[/tex]
Integrando ambos os lados da igualdade, teremos:
[tex]\displaystyle{\int \dfrac{dT}{T-20}=\int -2\,dt}[/tex]
Para calcular estas integrais, lembre-se que:
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1[/tex].
- O caso particular da regra acima é a integral imediata: [tex]\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/tex].
- A integral é um operador linear, logo vale que: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}[/tex].
Na primeira integral, faça uma substituição [tex]u=T-20[/tex] e diferencie ambos os da igualdade de modo a calcular o diferencial [tex]du[/tex].
[tex](u)'=(T-20)'\\\\\\ \dfrac{du}{dT}=1\\\\\\\Rightarrow du=dT[/tex]
Substituindo este resultado e aplicando a linearidade na segunda integral, teremos:
[tex]\displaystyle{\int\dfrac{du}{u}=-2\cdot\int1\,dt}[/tex]
Calcule as integrais, sabendo que [tex]1=t^0[/tex]
[tex]\ln|u|+C_1=-2\cdot\left(\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_2\right)[/tex]
Some os valores no expoente e denominador e efetue a propriedade distributiva da multiplicação
[tex]\ln|u|+C_1=-2\cdot\left(\dfrac{x^{1}}{1}+C_2\right)\\\\\\ \ln|u|+C_1=-2t-2C_2[/tex]
Desfaça a substituição [tex]u=T-20[/tex] e subtraia [tex]C_1[/tex] em ambos os lados da igualdade
[tex]\ln|T-20|=-2t-2C_2-C_1[/tex]
Considere [tex]-2C_2-C_1=C_3[/tex] uma constante arbitrária e faça:
[tex]\ln|T-20|=-2t+C_3\\\\\\ T-20=e^{-2T+C_3}[/tex]
Aplique a propriedade de potências: [tex]a^{m+n}=a^m\cdot a^n[/tex] e considere [tex]e^{C_3}=C[/tex]. Some [tex]20[/tex] em ambos os lados da igualdade.
[tex]T-20=Ce^{-2t}\\\\\\ T(t)=Ce^{-2t}+20[/tex]
Utilizando a condição de contorno [tex]T(0)=80[/tex], calculamos a constante [tex]C[/tex]:
[tex]T(0)=Ce^{-2\cdot0}+20\\\\\\ 80=C+20[/tex]
Subtraia [tex]20[/tex] em ambos os lados da igualdade.
[tex]C=60[/tex]
Dessa forma, a função temperatura é dada por: [tex]T(t)=60e^{-2t}+20~~\checkmark[/tex]
b) O instante [tex]t_0[/tex] em que [tex]T(t_0)=40~\bold{^{\circ}C}[/tex]
Utilizando a função encontrada no passo anterior, temos:
[tex]40=60e^{-2t_0}+20[/tex]
Subtraia [tex]20[/tex] em ambos os lados da igualdade.
[tex]60e^{-2t_0}=20[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por [tex]60[/tex] e simplifique a fração
[tex]e^{-2t_0}=\dfrac{1}{3}[/tex]
Calcule o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
[tex]\ln(e^{-2t_0})=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\\\\\ -2t_0=-\ln(3)[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]-2[/tex]
[tex]t_0=\dfrac{\ln(3)}{2}~~\checkmark[/tex]
c) O que acontece com a temperatura [tex]T(t)[/tex] após muito tempo?
Para isso, devemos calcular o limite da função temperatura quando [tex]t\rightarrow\infty[/tex]:
[tex]\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}~T(t)=\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}~60e^{-2t}+20[/tex]
Calculando o limite, facilmente temos que:
[tex]\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}~T(t)=20~\bold{^{\circ}C}~~\checkmark[/tex]
Conclui-se que após muito tempo, o corpo entra em equilíbrio térmico com o meio no qual está imerso, em que sua temperatura é constante e igual ao meio.
