Olá, boa tarde.
Devemos determinar para quais valores de [tex]a[/tex] existe o triângulo [tex]\triangle{MNP}[/tex] cujos vértices são os pontos de coordenadas [tex]M~(0,~a),~N~(a,\,-4)[/tex] e [tex]P~(1,~2)[/tex].
Para que estes pontos sejam vértices de um triângulo, eles não podem estar alinhados. De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, os pontos de coordenadas [tex](x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)[/tex] e [tex](x_2,~y_2)[/tex] estão alinhados se vale a seguinte propriedade:
[tex]\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{vmatrix}=0[/tex]
Dessa forma, teremos:
[tex]\begin{vmatrix}0&a&1\\a&-4&1\\1&2&1\\\end{vmatrix}\neq0[/tex]
Para calcular este determinante de ordem [tex]3[/tex], utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.
Replicando as colunas, temos:
[tex]\begin{vmatrix}0&a&1\\a&-4&1\\1&2&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}0&a\\a&-4\\1&2\\\end{matrix}~\neq0[/tex]
Aplique a Regra de Sarrus
[tex]0\cdot(-4)\cdot1+a\cdot1\cdot1+1\cdot a\cdot 2-(a\cdot a\cdot1-0\cdot1\cdot2+1\cdot(-4)\cdot1)\neq0[/tex]
Multiplique e some os valores no lado esquerdo da igualdade
[tex]a+2a-(a^2-4)\neq0\\\\\\ a+2a-a^2+4\neq0\\\\\\ -a^2+3a+4\neq0[/tex]
Resolvemos a desigualdade utilizando a fórmula resolutiva. Dada a equação quadrática de coeficientes reais [tex]ax^2+bx+c=0,~a\neq0[/tex], suas soluções são calculadas pela fórmula: [tex]x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex].
Assim, teremos:
[tex]a\neq\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}[/tex]
Calcule a potência, multiplique e some os valores
[tex]a\neq\dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}\\\\\\ a\neq\dfrac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}[/tex]
Calcule o radical, sabendo que [tex]25=5^2[/tex]
[tex]a\neq\dfrac{-3\pm5}{-2}[/tex]
Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações
[tex]a\neq\dfrac{-3+5}{-2}~~\bold{ou}~~a\neq\dfrac{-3-5}{-2}\\\\\\\Rightarrow a\neq-1~~\bold{ou}~~ a\neq4[/tex]
Portanto, os valores de [tex]a[/tex] tais que existe o triângulo [tex]\triangle{{MNP}}[/tex] pertencem ao conjunto solução:
[tex]\boxed{\bold{S=\{a\in\mathbb{R}-\{-1,~4\}~|~\exists~\triangle{MNP}\}}}}[/tex]
