Para reaver essa questão, vamos usar a definição formal de limites, dada por:
- Seja f uma função e "a" um ponto contido no domínio de f. Dizemos que f tem limite L, no ponto a, se dado qualquer [tex]\epsilon >0 [/tex], exista um [tex]\delta>0 [/tex] tal que, para qualquer x pertencente ao domínio de f, a condição abaixo seja satisfeita:
[tex]\lim_{x\to a}f(x) = L \\ \: 0 < |x - a| < \delta \: \: \: e \: \: \: |f(x) - L | < \epsilon\\ [/tex]
Vamos iniciar definindo cada temos do limite fornecido. Fazendo isso temos que:
[tex]\lim_{x\to 1} \frac{2 + 4x}{3} = 2 \\ L = 2 , \: f(x) = \frac{2 + 4x}{3} , \: a = 1[/tex]
Agora vamos substituir nas relações:
[tex]0 < |x - 1| < \delta \: \: e \: \: \left | \frac{2 + 4x}{3} - 2\right| < \epsilon \\ \\ 0 < |x - 1| < \delta \: \: e \: \: \left | \frac{2 + 4x - 6}{3} \right| < \epsilon \\ \\ 0 < |x - 1| < \delta \: \: e \: \: \left | \frac{1}{3} \right| \: . \: |4x - 4| < \epsilon \\ \\ 0 < |x - 1| < \delta \: \: e \: \: |4| . |x - 1| < 3 \epsilon \: \: \: \: \: \\ \\ 0 < |x - 1| < \delta \: \: e \: \: |x - 1| < \frac{3 \epsilon}{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
Observe que em ambos as expressões, temos os mesmo termos, isso quer dizer que:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\delta = \frac{3 \epsilon}{4} } \\ [/tex]
Espero ter ajudado
