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Sagot :
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.
Um fabricante produzirá caixas fechadas com tampa de volume igual a [tex]2727~cm^3[/tex] e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura.
Devemos encontrar as dimensões da caixa de modo que o consumo de material seja mínimo.
Primeiro, consideremos que a caixa será um paralelepípedo cujas medidas da base são a largura [tex]w[/tex] e o comprimento [tex]L[/tex]. A altura da caixa será igual a [tex]h[/tex].
Sabemos que [tex]L=3w[/tex]. Devemos ainda encontrar a altura da caixa em função da largura, de forma que façamos o cálculo com apenas uma variável.
Lembre-se que o volume de uma caixa com formato de paralelepípedo é dado pela fórmula: [tex]V=L\cdot w\cdot h[/tex]. Assim, teremos:
[tex]2727=3w\cdot w\cdot h\\\\\\ 3w^2h=2727[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]3w^2,~w\neq0[/tex]
[tex]h=\dfrac{2727}{3w^2}\\\\\\ h =\dfrac{909}{w^2}[/tex]
Para calcularmos o custo total de material a ser utilizado na confecção da caixa, precisamos encontrar a fórmula da área total desta em função da largura.
Lembre-se que a área total de um paralelepípedo é dada pela fórmula: [tex]A=2\cdot(L\cdot w+L\cdot h + w\cdot h)[/tex]. Assim, teremos:
[tex]A(w)=2\cdot\left(3w\cdot w + 3w\cdot\dfrac{909}{w^2}+w\cdot\dfrac{909}{w^2}\right)\\\\\\ A(w)=2\cdot\left(3w^2 + \dfrac{3636}{w}\right)\\\\\\ A(w)=6w^2+\dfrac{7272}{w}[/tex]
Para que o consumo seja mínimo, devemos encontrar os pontos críticos desta função. Para isso, calculamos sua derivada:
[tex](A(w))'=\left(6w^2+\dfrac{7272}{w}\right)'[/tex]
Para calcular a derivada, lembre-se que:
- A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
- A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: [tex](c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)[/tex].
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex].
- A potência [tex]\dfrac{1}{x}=x^{-1},~x\neq0[/tex].
Aplique a regra da soma e reescreva a potência
[tex]A'(w)=(6w^2)'+(7272w^{-1})'[/tex]
Aplique a regra da constante e da potência
[tex]A'(w)=6\cdot(w^2)'+7272\cdot(w^{-1})'\\\\\\ A'(w)=6\cdot 2\cdot w^{2-1}+7272\cdot (-1)\cdot w^{-1-1}\\\\\\ A'(w)=12w - 7272w^{-2}[/tex]
Os pontos críticos de uma função são aqueles pertencentes ao domínio da função de modo que a inclinação da reta tangente à curva neste ponto é nula, isto é, a derivada da função neste ponto é igual a zero. Assim, temos:
[tex]A'(w)=0\\\\\\ 12w - 7272w^{-2}=0[/tex]
Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator [tex]w^2[/tex]
[tex]12w^3-7272=0[/tex]
Some [tex]7272[/tex] em ambos os lados da igualdade
[tex]12w^3=7272[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]12[/tex]
[tex]w^3=606[/tex]
Calcule a raiz cúbica em ambos os lados da igualdade
[tex]w=\sqrt[3]{606}[/tex]
Facilmente podemos demonstrar que este ponto crítico é também um ponto de mínimo de [tex]A(w)[/tex].
Então, as dimensões da caixa que permitirão consumo mínimo de material são comprimento igual a [tex]3\sqrt[3]{606}~cm[/tex], largura igual a [tex]\sqrt[3]{606}~cm[/tex] e altura igual a [tex]\dfrac{909}{606^{\frac{2}{3}}}~cm[/tex].
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