Olá, boa tarde.
Para resolvermos a questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos e potências de [tex]i[/tex].
Seja [tex]i=\sqrt{-1}[/tex] a unidade imaginária. Buscamos o valor da seguinte expressão:
[tex]\dfrac{i^{303}+i^{407}}{i^{14}}[/tex]
Para isso, lembre-se que as potências de [tex]i[/tex] têm período igual a [tex]4[/tex], isto é, considerando [tex]i^0=1,~i^1=i,~i^2=-1[/tex] e [tex]i^3=-i[/tex], estes valores se repetem nesta ordem à medida que o expoente cresce.
Assim, para calcular uma potência qualquer, divide-se o expoente por [tex]4[/tex] e o novo expoente é o resto dessa divisão.
Calculando a potência [tex]i^{303}[/tex], temos:
[tex]303=75\cdot 4 + \bold{3}[/tex], logo [tex]i^{303}=i^3=-i[/tex].
Calculando a potência [tex]i^{407}[/tex], temos:
[tex]407=101\cdot 4 +\bold{3}[/tex], logo [tex]i^{407}=i^3=-i[/tex]
Por fim, calculando a potência [tex]i^{14}[/tex], temos:
[tex]14=3\cdot4+\bold{2}[/tex], logo [tex]i^{14}=i^2=-1[/tex]
Assim, teremos:
[tex]\dfrac{-i-i}{-1}[/tex]
Some os termos semelhantes
[tex]\dfrac{-2i}{-1}[/tex]
Simplifique a fração por um fator [tex](-1)[/tex]
[tex]2i~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta expressão.
