Dados:
[tex]|\vec{A}|=|\vec{B}|=|\vec{E}|=5\ u.c.[/tex]
[tex]|\vec{C}|=|\vec{D}|=3\ u.c.[/tex]
[tex]\cos{\alpha}=0.8,\ \sin{\alpha}=0.6[/tex]
Observação: [tex]u.c.[/tex] significa unidades de comprimento. É apenas uma denotação utilizada para demonstrar uma unidade de distância ao trabalharmos com eixos coordenados.
a) As projeções dos vetores nos eixos coordenados.
São solicitados os valores das projeções dos vetores [tex]\vec{A}[/tex] e [tex]\vec{E}[/tex] nos eixos x e y. Existe um macete bem interessante em decomposição vetorial que eu nunca esqueci: se está colado ao ângulo, use cosseno; se estiver separado, use seno.
A decomposição de [tex]\vec{A}[/tex] será:
[tex]|\vec{A}_x|=|\vec{A}|\cos{\alpha}=5(0.8)\ \therefore\ \boxed{|\vec{A}_x|=4\ u.c.}[/tex]
[tex]|\vec{A}_y|=|\vec{A}|\sin{\alpha}=5(0.6)\ \therefore\ \boxed{|\vec{A}_y|=3\ u.c.}[/tex]
A decomposição de [tex]\vec{E}[/tex] será:
[tex]|\vec{E}_x|=|\vec{E}|\sin{\alpha}=5(0.6)\ \therefore\ \boxed{|\vec{E}_x|=3\ u.c.}[/tex]
[tex]|\vec{E}_y|=|\vec{E}|\cos{\alpha}=5(0.8)\ \therefore\ \boxed{|\vec{E}_y|=4\ u.c.}[/tex]
[tex]\vec{B}[/tex], [tex]\vec{C}[/tex] e [tex]\vec{D}[/tex] não precisam ser decompostos, pois já se encontram sobre os eixos coordenados.
b) A resultante em cada uma das direções x e y.
Primeiramente, é preciso determinar um sentido positivo para os eixos x e y. Determinando o sentido positivo de x para a direita e o sentido positivo de y para cima, teremos que:
- Os vetores [tex]\vec{A}_x[/tex] e [tex]\vec{B}[/tex] estão no sentido positivo de x, enquanto os vetores [tex]\vec{D}[/tex] e [tex]\vec{E}_x[/tex] estão no sentido negativo de x;
- Os vetores [tex]\vec{A}_y[/tex] e [tex]\vec{E}_y[/tex] estão no sentido positivo de y, enquanto o vetor [tex]\vec{C}[/tex] está no sentido negativo de y.
Sendo assim, basta que realizemos a soma desses vetores para encontrarmos a resultante em cada um dos eixos ordenados.
A resultante no eixo x será:
[tex]\vec{R}_x=\vec{A}_x+\vec{B}-\vec{D}-\vec{E}_x=4+5-3-3\ \therefore\\\\ \boxed{\vec{R}_x=3\ u.c.}[/tex]
Como [tex]\vec{R}_x>0[/tex], essa resultante está no sentido positivo do eixo x (para a direita).
A resultante no eixo y será:
[tex]\vec{R}_y=\vec{A}_y+\vec{E}_y-\vec{C}=3+4-3\ \therefore\\\\ \boxed{\vec{R}_y=4\ u.c.}[/tex]
Como [tex]\vec{R}_y>0[/tex], essa resultante está no sentido positivo do eixo y (para cima).
c) O módulo da resultante de todos os vetores.
A módulo resultante de todos os vetores será o módulo da resultante entre os vetores [tex]\vec{R}_x[/tex] e [tex]\vec{R}_y[/tex].
Os módulos de [tex]\vec{R}_x[/tex] e [tex]\vec{R}_y[/tex] serão, separadamente:
[tex]\vec{R}_x=3\ u.c.\ \therefore\ \boxed{|\vec{R}_x|=3\ u.c.}[/tex]
[tex]\vec{R}_y=4\ u.c.\ \therefore\ \boxed{|\vec{R}_y|=4\ u.c.}[/tex]
Desse modo, o módulo da resultante entre esses dois vetores será dada por:
[tex]|\vec{R}|=\sqrt{|\vec{R}_x|^2+|\vec{R}_y|^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\ \therefore\\\\ \boxed{|\vec{R}|=5\ u.c.}[/tex]
