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Sagot :
Resposta:
a) 5,5 u.a.
b) y = - 1/6 x + 11/12
c) [tex]( -\frac{4}{3} ; -\frac{1}{3} )[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Considere os vértices do triângulo ABC, sendo A ( - 1 , - 2 ), B ( 0 , 4 ) e
C ( - 3 , - 3 ).
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Determine a equação da reta perpendicular que passa pelo ponto médio
do segmento AB .
c) Determine o baricentro do triângulo ABC.
Resolução:
a) a) Calcule a área do triângulo ABC.
Há uma maneira bastante direta de calcular essa área.
Área = 1/2 | determinante |
( lê-se que a área é igual a metade do módulo de um determinante de uma matriz )
A matriz forma-se com as coordenadas dos 3 vértices
[tex]\left[\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\0&4&1\\-3&-3&1\end{array}\right][/tex]
Na primeira coluna ficam as coordenadas em x de cada um dos pontos.
Na segunda coluna ficam as coordenadas em y dos vértices.
A terceira coluna fica preenchida com o valor 1
Para calcular o determinante da matriz, copiam-se as duas primeiras coluna e colocam-se à direita da matriz
- 1 - 2 1 | - 1 - 2
0 4 1 | 0 4
- 3 - 3 1 | - 3 - 3
Calcule-se
- 1 º º | º º
º 4 º | º º
º º 1 | º º
Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ...
º - 2 º | º º
º º 1 | º º
º º º | - 3 º
º º 1 | º º
º º º | 0 º
º º º | º - 3
Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + (1 * 0 * ( - 3 ))
º º 1 | º º
º 4 º | º º
- 3 º º | º º
Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + ( 1 *0 * 3 ) - ( 1 * 4 * ( - 3 )) -
º º º | - 1 º
º º 1 | º º
º - 3 º | º º
Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + ( 1 *0 * 3 ) - ( 1 * 4 * ( - 3 )) - ( -1 * 1 * (-3)) - ...
º º º | º 2
º º º | 0 º
º º 1 | º º
Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + ( 1 *0 * 3 ) - ( 1 * 4 * ( - 3 )) - ( - 1 * 1 * (- 3)) -
- ( 2 * 0 * 1 )
Det = - 4 + 6 + 0 + 12 - 3 - 0 = 11
Determinante = 11
Área = 1/2 * | determinante |
Área = 1/2 * | 11 |
Área =1/2 * 11 = 5,5 u.a.
b) Equação da reta perpendicular que passa pelo ponto médio do
segmento AB
Trata-se de calcular a mediatriz de [ AB ]
Sendo :
x1 - coordenada em x de A
y1 - coordenada em y de A
x2 - coordenada em x de B
y2 - coordenada em y de B
A equação da mediatriz
( x - x1 )² + ( y - y1 )² = ( x - x2 )² + ( y - y2)
( x - ( - 1) )² + ( y - (- 2 ) )² = ( x - 0 )² + ( y - 4)²
( x + 1 )² + ( y + 2 )² = x² + ( y - 4)²
Temos em cada membro que desenvolver Produtos Notáveis
São ou Quadrado da Diferença ou Quadrado da Soma
x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = x² + y² - 8y + 16
O x² e y² cancelam-se
Para o 1º membro passar todos os termos em "y".
O restante vai para o 2ª membro
4y + 8y = - 2x - 1 - 4 + 16
12y = - 2x + 11
Dividir todos os termos por 12
12y / y = - 2/12 x + 11/12
y = - 2/12 x + 11/12
Simplificando
y = - 1/6 x + 11/12
c) Determine o baricentro do triângulo ABC.
Há fórmula direta
[tex]G=( \frac{-1+0-3}{3} ; \frac{-2+4-3}{3} ) = ( -\frac{4}{3} ; -\frac{1}{3} )[/tex]
Bom estudo.
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( | | ) módulo de
( u.a.) unidade de área
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