Solucionando a questão, concluímos que para a função dada admitir qualquer valor mínimo, m deve ser maior que – 1/4.
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Numa função quadrática y = ax² + bx + c, considerando a, b e c ∈ ℝ com a ≠ 0; temos em mente que quando a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima, logo a função terá um ponto de mínimo absoluto, dada pelo vértice da parábola, e sendo assim admite valor mínimo, que é quando não há mais um valor abaixo dele.
Logo, dado a seguinte função
[tex]\\\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=(4m+1)\:\!x^2-x+6\end{array}}\\\\[/tex]
, queremos determinar m de modo que a função tenha valor mínimo, e note que apenas o coeficiente ''a'' possui a variável m, então para isso ocorrer, e como falei anteriormente, este coeficiente precisa ser positivo:
[tex]\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf a > 0\\\\\sf\iff~~~4m+1 > 0\\\\\sf\iff~~~4m+1-1 > 0-1\\\\\sf\iff~~~4m > -\,1\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~4m~}{4} > -\dfrac{~1~}{4}\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf m > -\dfrac{~1~}{4}}}\end{array}\\\\[/tex]
Dessarte, podemos concluir que m deve ser superior à – 1/4 para a função assumir algum valor mínimo.
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