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resolva passo a passo o limite, sem derivadas.

Resolva Passo A Passo O Limite Sem Derivadas class=

Sagot :

niltonjunior20oss764

[tex]\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}=\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(x-4)(x-2)}=[/tex]

[tex]\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(x-4)(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})}=[/tex]

[tex]\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{(x-4)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=[/tex]

[tex]\dfrac{1}{(2-4)(\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\boxed{-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}}[/tex]

SubGui

Olá, boa noite.

Devemos calcular o valor do seguinte limite:

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-2}{x^2-6x+8}[/tex]

Multiplique a fração por um fator [tex]\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}[/tex]

Aplique a propriedade do produto da soma pela diferença: [tex](a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2[/tex]

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x^2-6x+8)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]

Fatore a expressão quadrática no denominador: [tex]x^2-6x+8=(x-2)\cdot(x-4)[/tex]

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x-2)\cdot(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]

Simplifique a fração por um fator [tex]x-2[/tex].

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]

Lembre-se que:

  • O limite de uma função racional [tex]\dfrac{f(x)}{g(x)}[/tex], em que [tex]f(x),~g(x)[/tex] são contínuas pode ser calculado pela propriedade: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}[/tex].
  • O limite de uma constante é igual a própria constante.
  • O limite de um produto de funções [tex]f(x)\cdot g(x)[/tex], em que [tex]f(x),~g(x)[/tex] são contínuas pode ser calculado pela propriedade: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot g(x)=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)[/tex].
  • O limite de uma função contínua é igual ao valor da função no ponto: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)[/tex].

Assim, teremos:

[tex]\dfrac{\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~1}{\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex].

Aplique a propriedade da constante e do produto

[tex]\dfrac{1}{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(x-4)\cdot\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]

Calcule o limite das funções

[tex]\dfrac{1}{(2-4)\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{2})}[/tex]

Some e multiplique os valores

[tex]\dfrac{1}{(-2)\cdot2\sqrt{2}}\\\\\\ -\dfrac{1}{4\sqrt{2}}~~\checkmark[/tex]

Este é o resultado deste limite.

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