italomichel1989
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7. Calcule a integral no intervalo de 0 a 1 usando o seguinte integrando
tg(x).sen(x)
o In(sec(1) + tg(1)) - sen(1)
In(cos(1) + tg(1)) - sen(1)
O Nenhuma das alternativas
o In(sec(1) - tg(1)) - sen(1)
o In(sec(1) + tg(1)) + sen(1)​

Sagot :

niltonjunior20oss764

[tex]\boxed{\int\limits_0^1{\tan{x}\sin{x}dx}}[/tex]

Primeiramente, podemos realizar algumas manipulações trigonométricas:

[tex]\int\limits_0^1{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\sin{x}dx}=\int\limits_0^1{\sec{x}\sin^2{x}dx}=[/tex]

[tex]\int\limits_0^1{\sec{x}(1-\cos^2{x})dx}=\int\limits_0^1{(\sec{x}-\cos{x})dx}=[/tex]

[tex]\bigg(\int{\sec{x}dx}-\int{\cos{x}dx}\bigg)\bigg|^1_0[/tex]

As integrais de [tex]\sec{x}[/tex] e [tex]\cos{x}[/tex] já são conhecidas:

[tex]\bigg(\int{\sec{x}dx}-\int{\cos{x}dx}\bigg)\bigg|^1_0=[/tex]

[tex]\bigg(\ln{(|\tan{x}+\sec{x}|)}-\sin{x}\bigg)\bigg|^1_0=[/tex]

[tex]\ln{(|\tan{1}+\sec{1}|)}-\sin{1}-\ln{|\tan{0}+\sec{0}|}+\sin{0}=[/tex]

[tex]\boxed{\ln{(|\tan{1}+\sec{1}|)}-\sin{1}}[/tex]

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