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Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [0, 1].

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas e integrais.

Sejam duas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)\geq g(x)[/tex]. A área da região [tex]R[/tex] compreendida entre estas curvas neste intervalo é calculada pela integral: [tex]\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}[/tex].

Então, devemos determinar a área da região compreendida entre as curvas [tex]y=-x^2+4[/tex] e [tex]y=1[/tex] no intervalo [tex][0,~1][/tex]

Agora, determinamos qual função tem imagem maior neste intervalo. Facilmente, vemos que [tex]-x^2+4>1[/tex] neste intervalo.

Assim, a área da região compreendida entre estas curvas será calculada pela integral:

[tex]\displaystyle{\int_0^1-x^2+4-1\,dx[/tex]

Some os valores

[tex]\displaystyle{\int_0^1-x^2+3\,dx[/tex]

Para calcular esta integral, lembre-se que:

  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx[/tex].
  • A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}[/tex].
  • A potência [tex]1=x^0,~x\neq0[/tex].
  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex].
  • A integral definida de uma função [tex]f(x)[/tex] contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].

Aplique a regra da soma

[tex]\displaystyle{\int -x^2\,dx+\int 3\,dx~\biggr|_0^1}[/tex]

Aplique a regra da constante

[tex]\displaystyle{-\int x^2\,dx+3\cdot\int 1\,dx~\biggr|_0^1}[/tex]

Aplique a regra da potência

[tex]-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^1[/tex]

Some os valores nos expoentes e denominadores

[tex]-\dfrac{x^3}{3}+3\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_0^1\\\\\\\ -\dfrac{x^3}{3}+3x~\biggr|_0^1[/tex]

Aplique os limites de integração

[tex]-\dfrac{1^3}{3}+3\cdot1-\left(-\dfrac{0^3}{3}+3\cdot0\right)[/tex]

Calcule as potências e multiplique os valores

[tex]-\dfrac{1}{3}+3[/tex]

Some os valores

[tex]\dfrac{8}{3}~\bold{u.~a}[/tex]

Esta é a área da região compreendida entre as curvas neste intervalo.

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