I) Errado
[tex]\frac{x^2+1}{x+2}=\frac{x+1}{2}[/tex]
[tex]2(x^2+1)=(x+1)(x+2)[/tex]
[tex]2x^2+2=x^2+2x+x+2[/tex]
[tex]2x^2+2=x^2+3x+2[/tex]
[tex]2x^2-x^2-3x+2-2=0[/tex]
[tex]x^2-3x=0[/tex]
Caímos em uma equação do segundo grau, então "x" terá no máximo duas soluções, e não todo número real como é afirmado aqui.
II) Errado
[tex]2x+5=2(x+5)\\2x+5=2x+10\\2x-2x=10-5\\0=5[/tex]
Absurdo matemático, isso quer dizer que "x" não tem solução, logo a equação não é resolvida por NENHUM [tex]x\in R[/tex]
III) Correto
Está mal escrito, mas vou interpretar que este 2 é na verdade ² (afinal não tem alternativa onde todas estão erradas):
[tex](x-2)^2=x^2-4x+4\\x^2-4x+4=x^2-4x+4[/tex]
Os dois lados da igualdade são idênticos, então não importa o valor pelo qual eu substituir o "x", equações idênticas vão necessariamente gerar valores idênticos e a igualdade vai se manter para todo [tex]x\in R[/tex].