Resposta:
a) [tex]\frac{\sqrt[5]{2^{3} } }{2}[/tex]
b) [tex]\sqrt[7]{b^{3} }[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Racionalize os denominadores em:
a) [tex]\frac{1}{\sqrt[5]{4} }[/tex]
b) [tex]\frac{b}{\sqrt[7]{b^{4} } }[/tex]
Resolução:
Observação 1 → Para que algo no radicando, possa sair do radical , necessita de estar, pelo menos com expoente igual ao índice do radical
Exemplos: [tex]\sqrt[12]{7^{11} }[/tex] não pode nada sair do radicando porque seu expoente
( 11 ) é menor que o índice ( 12 )
Por causa desta regra nos radicais iniciais desta tarefa nada pode sair de dentro do radical.
Mas
em [tex]\sqrt[5]{4}[/tex] ele é igual a [tex]\sqrt[5]{2^{2} }[/tex] porque 4 = 2*2 = 2²
Se multiplicar por [tex]\sqrt[5]{2^{3} }[/tex]
Vai ficar assim
[tex]\sqrt[5]{2^{2} } *\sqrt[5]{2^{3} } =\sqrt[5]{2^{2} *2^{3} } =\sqrt[5]{2^{2+3} } =\sqrt[5]{2^{5} } =2[/tex]
repare que quando obtemos, dentro das regras da matemática, o expoente do radicando igual ao índice do radical, eles parece que "desaparecem".
Observação 2 → [tex]\sqrt[5]{2^{5} }=2[/tex]
Porque a radiciação e a potenciação são operações inversas.
Extrai raiz 5 de "algo" elevado a 5 , tem como resultado o " algo ".
Cancelam-se mutuamente.
Observação 3 → Quando se racionaliza uma fração, aquele (s) valor(es) que multiplicamos no denominador, têm de multiplicarem o numerador, também.
a) [tex]\frac{1}{\sqrt[5]{4} } =\frac{1}{\sqrt[5]{2^{2} } } =\frac{1*\sqrt[5]{2^{3} } }{\sqrt[5]{2^{2} }*\sqrt[5]{2^{3 } } } =\frac{\sqrt[5]{2^{3} } }{\sqrt[5]{2^{2}*2^{3} } } =\frac{\sqrt[5]{8} }{\sqrt[5]{2^{5} } } =\frac{\sqrt[5]{8} }{2}[/tex]
Observação 4 → Multiplicação de radicais
Só pode ser feita quando os índices forem iguais.
Mantém-se o índice e multiplicam-se os radicandos.
Exemplo : [tex]\sqrt[5]{2^{2} } *\sqrt[5]{2^{3} } =\sqrt[5]{2^{2} *2^{3} }[/tex]
( aqui não fiz as contas todas até ao fim porque estou apenas a explicar a multiplicação de radicais)
b) [tex]\frac{b}{\sqrt[7]{b^{4} } }[/tex]
[tex]\frac{b}{\sqrt[7]{b^{4} } } = \frac{b *\sqrt[7]{b^{3} } }{\sqrt[7]{b^{4} }*\sqrt[7]{b^{3} } } =\frac{b*\sqrt[7]{b^{3} } }{\sqrt[7]{b^{4}*b^{3} } } =\frac{b*\sqrt[7]{b^{3} } }{\sqrt[7]{b^{7} } } =\frac{b*\sqrt[7]{b^{3} } }{b} =\sqrt[7]{b^{3} }[/tex]
No último cálculo , o "b" do numerador e do denominador cancelaram-se , porque:
→ estão a dividir um ao a outro
e
→ só há multiplicações no numerador e no denominador
Bom estudo.
-------------------------
Sinais: ( * ) multiplicação
