Vamos enunciar o Teorema de Green:
"Seja C uma curva fechada orientada simples e suave em quase todo lugar, e seja D a região limitada por essa curva. Se P e Q tiverem derivadas parciais contínuas em D, então
[tex]\int_C P\,dx + Q\, dy = \int\!\!\!\int_D \left({\partial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y}\right) \,dA[/tex]"
Podemos identificar da integral em questão que [tex]P = y^2[/tex] e [tex]Q = x[/tex]. Logo, temos [tex]{\partial Q\over \partial x} = 1[/tex] e [tex]{\partial P\over \partial y} = 2y[/tex]. Assim, temos
[tex]\oint_{\omega} y^2\,dx + x\, dy = \int\!\!\!\int_{quadrado} \left(1 - 2y) \,dA[/tex]
Na região do quadrado, temos -2 < y < 2 e -2 < x < 2. Estes serão os limites!
[tex]\int\!\!\!\int_{quadrado} (1 - 2y) \,dA = \int\limits^{2}_{-2} \int\limits^{2}_{-2} (1 - 2y) \, dx dy[/tex]
[tex]\int\limits^{2}_{-2} \int\limits^{2}_{-2} (1 - 2y) \, dx dy = \int\limits^{2}_{-2} (4 - 8y) \, dy = 16[/tex].
