As afirmações corretas são I, II e IV, portanto alternativa D
Antes de seguir darei a regra para provar que um limite não existe.
[tex]\displaystyle\text{se existirem duas curvas, tal que }\text{$\lim_{t\to t_0} (\gamma_1(t)) \ne \lim_{t\to t_0}(\gamma_2(t))$ ent\~ao}\\\text{$ \nexists \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} (x_0, y_0)$}[/tex]
I.
Para provar que um limite não existe, temos que achar uma parametrização dele que dê um resultado diferente, então dado o limite:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \Longrightarrow \lim_{(x,y)\to (0,0)} x^2\sin \frac{1}{y}\end{aligned}$}[/tex]
Vamos utilizar a parametrização [tex]\large\text{$\gamma(t) = (t, t)$}[/tex], logo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma(t)) \Longrightarrow \lim_{t\to 0} t^2\sin\frac{1}{t} = 0\end{aligned}$}[/tex]
Agora vamos utilizar outra parametrização [tex]\large\text{$\gamma_2(t) = (t^{-2}, t^{-2})$}[/tex]:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma_2(t)) \Longrightarrow \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2}\sin t^2 \end{aligned}$}[/tex]
Agora nesse segundo limite, note que temos o limite trigonométrico fundamental:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{t \to0} \frac{\sin(t)}{t} = 1\end{aligned}$}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma(t)) \ne \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma_2(t))\end{aligned}$}[/tex]
Logo o limite não existe.
II.
Dada a função:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}f(x,y) = \frac{e^{2x+4xy-8y}}{y^2-1}\end{aligned}$}[/tex]
A função no numerador não há nenhuma restrição, mas para a função no denominador temos que garantir que seja diferente de 0, logo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y^2 - 1 \ne 0 \\\\y^2 \ne 1\\\\y \ne \pm 1\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, de fato o domínio da função é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2\, |\, y \ne \pm1 \right\}\end{aligned}$}[/tex]
III.
Se temos as funções:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}g(x, y) = x^2 + xy -1 \qquad f(u) = \ln(u)\end{aligned}$}[/tex]
Então a função composta é dado por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}(f \circ g)(x,y) = \ln(x^2+xy-1)\end{aligned}$}[/tex]
Logo vemos que essa afirmação não é verdadeira, provalmente esse limite não existe, mas de qualquer forma, quando (x, y) → (1, 0), x² + xy - 1 se aproxima de 0, e lim x → 0 ln(x) = -∞ que está muito longe de 1.
IV.
Dada a função:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}f(x, y, z) = x^2y^3 - x^3z^2 + 3xz + 2xy\\ \\\end{aligned}$}[/tex]
A função é composta pela soma de 4 funções contínuas, logo também é contínua, e não nenhuma restrição em seu domínio, então de fato ele é [tex]\large\text{$\mathbb{R}^3$}[/tex]
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respondo nos comentários.
