Olá, boa noite.
Desejamos resolver a seguinte integral:
[tex]\displaystyle{\int \cos(x)\cdot\sin(\sin(x))\,dx[/tex]
Faça uma substituição [tex]u=\sin(x)[/tex]. Diferenciamos ambos os lados da igualdade de modo a encontrarmos o diferencial [tex]dx[/tex]:
[tex](u)'=(\sin(x))'[/tex]
Para calcular as derivadas, lembre-se que:
- A derivada de uma função [tex]u=u(x)[/tex] é dita implícita e é calculada pela regra da cadeia: [tex](u)'=1\cdot u^{1-1}\cdot u'=u'=\dfrac{du}{dx}[/tex].
- A derivada da função seno é a função cosseno: [tex](\sin(x))'=\cos(x)[/tex].
Assim, teremos:
[tex]\dfrac{du}{dx}=\cos(x)[/tex]
Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]du=\cos(x)\,dx[/tex]
Observe que este elemento já está presente na integral, logo teremos:
[tex]\displaystyle{\int \sin(u)\,du}[/tex]
Calcule a integral, sabendo que a integral da função seno é o oposto da função cosseno: [tex]\displaystyle{\sin(x)\,dx=-\cos(x)+C[/tex]
[tex]-\cos(u)+C[/tex]
Desfaça a substituição [tex]u=\sin(x)[/tex]
[tex]-\cos(\sin(x))+C,~C\in\mathbb{R}[/tex]
Este é o resultado desta integral.
