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Um triângulo retângulo possui lados medindo a, b, c. com c > b > a. Além disso, é conhecido que a/b = 1 /2 Se teta 1 e teta 2 são ângulos do triangulo que não são retos, quanto vale seno de teta1 mais seno de teta2?

Sagot :

Lliw01

Resposta:

[tex]\boxed{\boxed{\large{\mathbf{ sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}}}}[/tex]

Solução:

Siga a figura com os dados do enunciado

Como c>b>a, ou seja c é o maior lado do triangulo, então c é a hipotenusa

Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

[tex]c^2=a^2+b^2[/tex]

Do enunciado temos que [tex]\frac{a}{b}=\frac{1}{2}[/tex], multiplique cruzado e você vai achar que [tex]b=2a[/tex], substituindo no teorema de Pitágoras:

[tex]c^2=a^2+(2a)^2\\\\\\c^2=a^2+4a^2\\\\\\c^2=5a^2\\\\\\c=\sqrt{5a^2}\\\\\\c=a\sqrt{5}[/tex]

Segue que

[tex]sen(\theta_1)=\dfrac{b}{c}[/tex]

e também

[tex]sen(\theta_2)=\dfrac{a}{c}[/tex]

a soma será

[tex]sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{c}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{b+a}{c}[/tex]

Seja [tex]b=2a[/tex] e [tex]c=a\sqrt{5}[/tex], então

[tex]sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{2a+a}{a\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3\not\!{a}}{\not\!{a}\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}[/tex]

View image Lliw01