Resposta:
x + y – z + 1 = 0
Explicação passo-a-passo:
Observação: Para verificar se duas retas r e s são coplanares ou reversas basta verificar se os vetores B-A, u e v são linearmente dependentes ou linearmente independentes, onde A é ponto de r1, B ponto de r2, u vetor de r1 e v vetor de r2.
Escrevendo na forma paramétrica fica mais fácil para ver um ponto e o vetor diretor, sendo este último os coeficientes de de s e t.
Trabalhando com r1
{x-2 =s. Logo x = 2+s
{(y-3)/5 = s. Logo y = 3+5s
{z = 6 + 6s
Vetor diretor igual u=(1, 5, 6)
{x-2 =s. Logo x = 2+t
{(y-2)/5 = s. Logo y = 2+5s
{z = 6 + 6s
Vetor diretor de r1 igual u = (1, 5, 6)
Um ponto de r1 = A = (2, 3, 6)
==//==
Trabalhando com r2.
r2 já está na forma paramétrica e o vetor diretor é v = (4,-3, 1)
Um ponto de r2 = B = (-3, 1, -1)
Temos que B-A =(-3, 1, -1) - (2,3,6) = (-5, -2, -7).
Não posso colocar o traço da matriz, caso contrário o brainly não aceita enviar. Então vou fazer assim:
1 5 6
4 -3 1
-5 -1 -7
Usando a11 e aplicando Chió, cairemos em
-23 -23
23 23, cujo determinante é zero.
Logo as retas r1 e r2 são coplanares, e devido ao fato de u e v não serem múltiplos podemos afirmar com segurança que essas retas não são paralelas e sim concorrentes.
Temos que atender o primeiro é pedido da questão.
Primeiro tem que calcular o vetor normal ao plano.
i j k
1 5 6
4 -3 1
Encontrando o determinante temos 23i + 23j -23k = 23(i, j, k) = 23(1, 1, -1) = (1, 1, -1), já que i, j, k é base canônica e qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dessa base.
Então temos que o vetor normal ao plano é (1, 1, -1). Então já podemos escrever que a equação geral do plano procurado que é x + y – z + d = 0, agora só falta encontrar d, para finalizarmos.
Então temos que resolver o sistema abaixo para encontrar um ponto do plano que pode ser o de concorrência das retas, que se calcula assim.
{2+s = -3+4t
{3+5s = 1-3t
{6+6s =-1+t
{s-4t = -5
{5s+3t = -2
{6s- t = -7
Resolve o sistema formado pelas duas primeiras e substitui os valores na terceira, se satisfizer a terceira então é raiz se não satisfizer o sistema não tem solução e a questão tambem não tem solução.
{s-4t = -5, multiplica por -5 e soma com a segunda.
{5s+3t = -2
{-5s+20t = 25
{5s+3t = -2
___________
23t=23
t=1
5s +3 = -2
s = -1
Substituindo na Terceira veremos que satisfaz -6 - 1 = -7.
Logo o ponto de concorrência é (2 +s, 3+5s, 6+6s) = (2-1, 3-5, 6-6) = (1, -2, 0).
x + y – z + d = 0
1.1 + -2.1 – 0.1 + d = 0
d = 1
O plano procurado é x + y – z + 1 = 0
