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Sagot :
Resposta:
x = 2√2 cm
Explicação passo-a-passo:
Lei dos cossenos
a² = b² + c² - 2bc cos(a)
(√5 )² = (3/2)² + (3/2)² - 2.3/2.3/2cosa
5 = 9/4 + 9/4 - 18/4cosa
18/4cosa = 18/4 - 5
9/2cosa = -2/4
cosa = -1/2 . 2/9
cosa = -1/9 ⇒ a = 96,38°
1² = (3/2)² + (3/2)² - 2.3/2.3/2cosb1= 9/4 + 9/4 - 18/4cosb
18cosb = 18/4 - 1
9/2cosb = 14/4
cosb = 7/2 . 2/9
cosb = 7/9 ⇒ b = 38,94°
2² = (3/2)² + (3/2)² - 2.3/2.3/2cosc
4 = 9/4 + 9/4 - 18/4cosc
18/4cosc = 18/4 - 4
9/2 cosc = 2/4
cosc = 1/2 . 2/9
cosc = 1/9 ⇒ c = 83,62°
a + b + c + d = 360°
96,38° + 38,94° + 83,62° + d = 360°
d = 360° - 96,38° - 38,94° - 83,62°
d = 141,06° ⇒ cosd = -0,78
x² = (3/2)² + (3/2)² - 2.3/2.3/2cosd
x² = 18/4 -18/4(-0,78)
x² = 9/2 - 9/2(-0,78)
x² = 4,5 + 4,5(-0,78)
x² = 4,5 + 3,5
x² = 8
x = √8
x² = (4.2)
x = 2√2
Aplicações de Congruência
em Quadriláteros Inscritos
Na imagem, anexo a resolução do problema que consiste no seguinte:
- O raio mede 1,5 ≅ 3/2. Localizamos o centro "E" e formamos os triângulos isósceles AEB , DEC , AED e BEC
- Plotamos as alturas EM, EN, EP e EQ. Por Pitágoras, obtemos EM = 1; EN = √5 / 2; e EP = √2
- Obtemos que os triângulos AME ; EMB ; DNE e ENC são congruentes (critério LLL), portanto completamos com os ângulos "a" e "b" de forma que: Oposto ∡ a = √5 / 2; Oposto ∡ b = 1
- Como 2a + 2b = 180 °, então ∡ AED + ∡ BEC = 180°. Portanto, ∡ AED = 2c e também ∡ BEC = 2d. É cumprido que ∡c + ∡d = 90°
- Completamos os ângulos e obtemos que os triângulos AQE e BPE são congruentes (critério ALA), portanto equalizamos os opostos de ∡ c:
[tex]\dfrac{\texttt{x}}{\texttt{2}}\ \texttt{=}\ \sqrt{\texttt{2}} \\\\\\\boxed{\mathbf{x=2\sqrt{2} }}[/tex]
Espero ter ajudado, boa sorte!!
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