Olá, bom dia.
Desejamos resolver a seguinte equação diferencial homogênea:
[tex](y^2-xy)\cdot dx + x^2\cdot dy=0[/tex]
Esta é uma equação diferencial separável. Divida ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]y^2-xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}=0[/tex]
Subtraia [tex]y^2-xy[/tex] em ambos os lados da igualdade
[tex]x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}=xy-y^2[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por [tex]x^2[/tex]
[tex]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}-\dfrac{y^2}{x^2}[/tex]
Reescreva a potência: [tex]\dfrac{y^2}{x^2}=\left(\dfrac{y}{x}\right)^2[/tex]
[tex]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}-\left(\dfrac{y}{x}\right)^2[/tex]
Faça uma substituição [tex]\dfrac{y}{x}=v[/tex], em que [tex]v=v(x)[/tex] e multiplique ambos os lados da igualdade por [tex]x[/tex]:
[tex]y=x\cdot v[/tex]
Diferencie ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]x[/tex]:
[tex](y)'=(x\cdot v)'[/tex]
Para calcular esta derivada, lembre-se que:
- A derivada de uma função resultante do produto de duas funções deriváveis [tex]f(x)=g(x)\cdot h(x)[/tex] é calculada pela regra do produto: [tex]f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)[/tex].
- A derivada de uma função [tex]y=y(x)[/tex] é dita implícita e calculada pela regra da cadeia: [tex](y)'=1\cdot y^{1-1}\cdot y'=y'[/tex]
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex].
Aplique a regra do produto
[tex](y)'=(x)'\cdot v + x\cdot (v)'[/tex]
Aplique a regra da cadeia e da potência
[tex]y'=v+ x\cdot v'[/tex]
Reescrevendo [tex]y'=\dfrac{dy}{dx}[/tex] e [tex]v'=\dfrac{dv}{dx}[/tex], substituímos estes dados na equação:
[tex]v+x\cdot \dfrac{dv}{dx}=v-v^2[/tex]
Subtraia [tex]v[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]x\cdot \dfrac{dv}{dx}=-v^2[/tex]
Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:
[tex]-\dfrac{dv}{v^2}=\dfrac{dx}{x}[/tex]
Integre ambos os lados da igualdade
[tex]\displaystyle{\int -\dfrac{dv}{v^2}=\int \dfrac{dx}{x}}[/tex]
Sabendo que [tex]\displaystyle{\int -\dfrac{dv}{v^2}=\dfrac{1}{v}+C}[/tex] e [tex]\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C}[/tex], temos:
[tex]\dfrac{1}{v}+C_1=\ln|x|+C_2[/tex]
Subtraia [tex]C_1[/tex] em ambos os lados da igualdade e considere [tex]C_2-C_1=C_3[/tex]
[tex]\dfrac{1}{v}=\ln|x|+C_3[/tex]
Considere [tex]C_3=\ln(C)[/tex] e aplique a propriedade de logaritmos: [tex]\log_c(a)+\log_c(b)=\log_c(a\cdot b),~0<a,~b[/tex] e [tex]0<c\neq1[/tex]
[tex]\dfrac{1}{v}=\ln|Cx|[/tex]
Isole [tex]v[/tex]
[tex]v=\dfrac{1}{\ln|Cx|}[/tex]
Substitua este resultado em [tex]y=x\cdot v[/tex]
[tex]y=\dfrac{x}{\ln|Cx|},~C\in\mathbb{R}[/tex]
Esta é a solução desta equação diferencial.
