[tex]\lim_{x \to 0} (\sqrt{4}+x-\frac{2}{x} )\\\\ \lim_{x \to 0} (2+0-\frac{2}{0} )\\\\ \lim_{x \to 0^{+}} -\infty \\\\ \lim_{x \to 0^{-}} -(-\infty)=\infty \\\\[/tex]
Vamos lembrar a diferença dos quadrados:
[tex]\boxed{\bf{(a+b)(a-b)=a^{2} -b^{2} }}[/tex]
No problema, se substituirmos x = 0, obtemos zero no denominador, portanto, essa é uma indeterminação que devemos eliminar.
Como eliminamos a indeterminação?
Procuramos simplesmente aplicar propriedades de "produtos notáveis" para eliminar o fator que causa indeterminação, no problema esse fator seria "x".
[tex]\lim_{x \to \ 0} \dfrac{\sqrt{4+x}-2 }{x} \\\\\\\\\texttt{Nos multiplicamos por}\ (\sqrt{\texttt{4 + x}}\ \texttt{+ 2})\ \texttt{o numerador e o denominador:}\\\\ \lim_{x \to \ 0} \dfrac{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x} +2) }{x(\sqrt{4+x} +2) }\\\\\\\\\texttt{Aplicamos a diferenca de quadrados no numerador:}\\\\ \lim_{x \to \ 0} \dfrac{(\sqrt{4+x})^{2} -2^{2} }{x(\sqrt{4+x} +2) }\\\\\\=\lim_{x \to \ 0} \dfrac{4+x-4 }{x(\sqrt{4+x} +2) }\\\\\\=\lim_{x \to \ 0}\dfrac{x}{x(\sqrt{4+x} +2) } \\\\\\[/tex]
[tex]=\boxed{\bf{\lim_{x \to \ 0}\dfrac{1}{\sqrt{4+x} +2 }}}[/tex]
Uma vez que o fator "x" não existe mais, substituímos livremente x = 0:
[tex]\lim_{x \to \ 0}\dfrac{1}{\sqrt{4+x} +2}\\\\\\=\dfrac{1}{\sqrt{4+0} +2}\\\\\\=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4} =\boxed{\boxed{\bold{0,25}}} \\\\\\[/tex]
