Seja k = u + w. Pelo enunciado, (k + v) e (k - v) possuem a mesma magnitude. Isso só pode acontecer se k e v forem perpendiculares: se α é o ângulo entre k e v, então (π - α) é o ângulo entre k e -v, e ao igualar as magnitudes de ambos os vetores teremos cos(α) = cos(π - α), que implica α = π/2 para α entre 0 e π (use a fórmula da magnitude da soma de dois vetores e verifique!). Logo, o produto escalar entre v e u + w
Tenha em mente a propriedade distributiva do produto escalar sobre adição vetorial: v•(u + w) = v•u + v•w. Assim, se θ for o ângulo entre v e w, temos
v•(u + w) = v•u + v•w
0 = 5cos(π/8) + 5cosθ
cos θ = -cos(π/8)
Para θ entre 0 e π, temos que θ = π - π/8 = 7π/8. Um desenho de um caso particular, quando v, u e w são coplanares, permite que verifiquemos facilmente essa resposta. Segue anexo da imagem!
