Resposta: 48 cm, deu trabalho deixa o like se entender :D
Explicação passo-a-passo:
Sabemos que como os lados estão em PA que:
a1 = x - r , a2 = x , a3 = x + r, (escrever dessa forma irá nos permitir mais facilidade nas contas)
como o perímetro é a soma do lados temos:
x-r + x + x+r = 3x = 96, e assim, x = 32 (agora só falta descobrirmos quanto vale nossa hipotenusa que obviamente tem o maior lado)
Aplicando Pitágoras temos:
(x-r)^2 + x^2 = (x+r)^2
expandindo temos:
x^2 - 2xr + r^2 + x^2 = x^2 + 2xr + r^2
subtraindo r^2 e x^2 de ambos lados temos:
x^2 - 2xr = 2xr
x^2 - 4xr = 0 ( I )
e como a área do triângulo pode ser dada por b.h / 2 temos:
( x-r ) . ( x ) / 2 = ( x^2 - xr ) / 2 = 384
( x^2 - xr ) = 384 . 2 = 768 ( II )
agora podemos comparar o valor I e o valor II
x^2 - 4xr = 0
x^2 - xr = 768
subtraindo I ao II encontramos:
0.x^2 + 3xr = 768
então xr = 256
como x = 32 temos que r = 16 e assim descobrimos que:
x + r = a3 = hipotenusa
32 + 16 = hipotenusa
48 = hipotenusa
hipotenusa é 48 cm
