Solucionando o problema, concluímos que a função y = px² + 3x – 1 não admite valor mínimo igual a 1/2.
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Numa função quadrática, sabemos que quando o coeficiente ''a'' é positivo a concavidade da parábola é voltada para cima, logo a função terá um ponto de mínimo absoluto, dada pelo vértice da parábola, e sendo assim admite valor mínimo, que é quando não há mais um valor abaixo dele. Para encontrá-lo usamos a fórmula
[tex]\Large\qquad\quad\begin{array}{l}\sf y_v=-\dfrac{~\Delta~}{4a}\end{array}\\\\[/tex]
, cuja a própria define o y do vértice.
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Desta maneira, dado a função
[tex]\Large\qquad\begin{array}{l}\sf y=p\:\!x^2+3\:\!x-1\end{array}\\\\[/tex]
, de coeficientes:
Note que, como queremos determinar p de modo que a função admita valor mínimo igual a 1/2, e o coeficiente ''a'' é a variável p, então vamos impor a restrição: p > 0, pois para haver valor mínimo (qualquer um, não necessariamente o 1/2), p deve ser estritamente um real positivo.
Agora sim, substituindo os coeficientes da função na fórmula e que desejamos para yᵥ = 1/2, obtemos:
[tex]\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf y_v=-\dfrac{~\Delta~}{4a}\\\\\sf\iff~~~y_v=-\dfrac{~b^2-4ac~}{4a}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~1~}{2}=-\dfrac{~3^2-4\cdot p\cdot(-1)~}{4\cdot p}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~1~}{2}=-\dfrac{9+4p}{4p}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~1~}{2}\cdot4p=-(9+4p)\\\\\sf\iff~~~2p=-\,9-4p\\\\\sf\iff~~~2p+4p=-\,9\\\\\sf\iff~~~6p=-\,9\\\\\sf\iff~~~p=-\dfrac{~9~}{6}\\\\\sf\iff~~~p=-\dfrac{~~9^{\,:\,3}}{~~6^{\,:\,3}}\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boxed{\sf p=-\dfrac{~3~}{2}}\end{array}\\\\[/tex]
Contudo, lembra da restrição imposta no início, na qual p deve assumir somente valores reais positivos? Então – 3/2 não nos serve para tal por ser negativo. Logo, podemos concluir que a função y = px² + 3x – 1 não assume valor mínimo igual a 1/2.
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