Com os 3 valores que temos, podemos fazer um sistema de equações para descobrir a, b, c e, portanto, determinando R(x). Assim, igualaremos R(x) = 0 para achar os zeros.
Vamos armar o sistema, substituindo cada valor de x para qual sabemos R(x) em ax² + bx + c:
[tex]x = -4[/tex]:
[tex]R(-4) = a(-4)^2 + b(-4) + c = -20[/tex]
[tex]16a - 4b + c = -20[/tex] (equação 1)
[tex]x = 1/2[/tex]:
[tex]R(1/2) = a(1/2)^2 + b(1/2) + c = 7/4[/tex]
[tex]a/4 + b/2 + c = 7/4[/tex] (equação 2)
[tex]x = 5[/tex]:
[tex]R(5) = a(5)^2 + b(5) + c = -17[/tex]
[tex]25a + 5b + c = -17[/tex] (equação 3)
Agora que temos as 3 equações, você pode usar seu método preferido para resolver o sistema, por exemplo, substituição. As contas serão omitidas, para que a resposta não fique desnecessariamente longa, mas você pode verificar que a solução é [tex]a = -1[/tex], [tex]b = 4/3[/tex] e [tex]c = 4/3[/tex]. Logo, temos
[tex]R(x) = -x^2 + 4x/3 + 4/3[/tex]
Vamos achar os zeros:
[tex]-x^2 + 4x/3 + 4/3 = 0[/tex]
Usaremos a fórmula quadrática. Primeiro, o delta:
[tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex]
[tex]\Delta = (4/3)^2 - 4(-1)(4/3)[/tex]
[tex]\Delta = 16/9 + 16/3 = 64/9[/tex]
Logo,
[tex]x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
[tex]x_1 = \frac{-4/3 + 8/3}{2(-1)}[/tex]
[tex]x_1 = -\frac{2}{3}[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-4/3 - 8/3}{2(-1)}[/tex]
[tex]x_2 = 2[/tex]
Logo, os zeros de R(x) são x = -2/3 e x = 2.
