Teremos que utilizar duas regras importantes: Regra da Cadeia e Regra do Quociente:
[tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}f(g(h(\dots(x))))=f'(g(h(\dots(x))))[g'(h(\dots(x)))][h'(\dots(x))]\dots}[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{g(x)}{h(x)}\bigg]=\dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}}[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, analisaremos a função:
[tex]f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\ \to\ \boxed{f(x)=\dfrac{4x^3+5x^2-1}{\sin{(x^4+1)}}}[/tex]
Podemos derivar f(x) através da Regra do Quociente. É também preciso prestar atenção na Regra da Cadeia presente na derivada de sin(x^4 + 1):
[tex]\dfrac{df}{dx}=\dfrac{\frac{d}{dx}\big(4x^3+5x^2-1\big)[\sin{(x^4+1)}]-(4x^3+5x^2-1)\frac{d}{dx}\big(\sin{(x^4+1)}\big)}{[\sin{(x^4+1)}]^2}\ \therefore[/tex]
[tex]\dfrac{df}{dx}=\dfrac{(12x^2+10x)\sin{(x^4+1)}-(4x^3+5x^2-1)(4x^3)\cos{(x^4+1)}}{\sin^2{(x^4+1)}}[/tex]
Uma das raízes de [tex]4x^3+5x^2-1=0[/tex] é -1. Logo, podemos fatorar a expressão em [tex]4x^3+5x^2-1=(x+1)(4x^2+x-1)[/tex]. Assim:
[tex]\dfrac{df}{dx}=\dfrac{2x(6x+5)\sin{(x^4+1)}-4x^3(x+1)(4x^2+x-1)\cos{(x^4+1)}}{\sin^2{(x^4+1)}}\ \therefore[/tex]
[tex]\dfrac{df}{dx}=2x\bigg[\dfrac{6x+5}{\sin{(x^4+1)}}-\dfrac{2x^2(x+1)(4x^2+x-1)\cot{(x^4+1)}}{\sin{(x^4+1)}}\bigg]\ \therefore[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{df}{dx}=2x\csc{(x^4+1)}\bigg[6x+5-2x^2(x+1)(4x^2+x-1)\cot{(x^4+1)}\bigg]}[/tex]
