Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de determinantes.
Seja uma matriz [tex]A[/tex], de quinta ordem cujo determinante é igual a [tex]8[/tex]. Devemos calcular o valor de [tex]x[/tex] na equação:
[tex]\det(2\cdot A^{-1})=10x\cdot\det(A^t)[/tex].
Primeiro, lembre-se que:
- O determinante do produto entre uma constante real [tex]k[/tex] e uma matriz [tex]B[/tex] de ordem [tex]n[/tex] é calculada por [tex]\det(k\cdot B)=k^n\cdot\det(B)[/tex].
- A matriz inversa tem a mesma ordem da matriz original, logo vale [tex]\det(k\cdot A^{-1})=k^n\cdot\det(A^{-1})[/tex].
- O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original: [tex]\det(B^{-1})=\dfrac{1}{\det(B)}[/tex].
- O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original: [tex]\det(B^t)=\det(B)[/tex].
Assim, aplique a primeira, segunda e quarta propriedades
[tex]2^5\cdot \det(A^{-1})=10x\cdot \det(A)[/tex]
Aplique a terceira propriedade e calcule a potência
[tex]\dfrac{32}{\det(A)}=10x\cdot \det(A)[/tex]
Substitua [tex]\det(A)=8[/tex] e multiplique os termos
[tex]\dfrac{32}{8}=10x\cdot 8\\\\\\ 80x = 4[/tex]
Divida ambos os lados da equação por um fator [tex]80[/tex] e simplifique a fração
[tex]x=\dfrac{4}{80}\\\\\\ x =\dfrac{1}{20}~~\checkmark[/tex].
Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra c).
