Aplicando a definição de logaritmo [tex]\boxed{\sf \log_ba=c~~\Longleftrightarrow~~a=b^c}[/tex] , temos:
[tex]\sf \log_{2\sqrt{2}}1024~=~x~~\Longleftrightarrow~~\boxed{1024~=~\left(2\sqrt{2}\right)^x}[/tex]
Chegamos em uma igualdade de potências de base diferente (1024 e 2√2).
Para resolve-la, precisaremos "transforma-la" em uma igualdade de potências de mesma base.
Vamos começar lembrando que um radical pode ser escrito como uma potência de expoente fracionário da seguinte forma:
[tex]\boxed{\sqrt[b]{a^c}~=~a^{\frac{c}{b}}}[/tex]
Assim, no lado direito da equação, podemos reescrever o radical √2 como uma potência de base 2 e expoente 1/2.
[tex]\sf 1024~=~\left(2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^x[/tex]
Utilizando a propriedade do produto de potências de mesma base no membro direito da equação:
[tex]1024~=~\left(2^{1+\frac{1}{2}}\right)^x\\\\\\1024~=~\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^x[/tex]
Agora, fatorando o lado esquerdo e aplicando a propriedade da potência de potência no lado direito da equação:
[tex]\sf 2^{10}~=~2^{\frac{3}{2}x}[/tex]
Note que chegamos por fim em uma igualdade de potências de mesma base e, para que a igualdade seja mantida, os expoentes devem também ser iguais, portanto:
[tex]\sf \not2^{10}~=~\not2^{\frac{3}{2}x}\\\\\\10~=~\dfrac{3}{2}\,x\\\\\\x~=~10\cdot \dfrac{2}{3}\\\\\\\boxed{\sf x~=~\dfrac{20}{3}}[/tex]
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
