Resposta:
[tex]\boxed{\boxed{\large{B=45\º}}}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\large{C=120\°}}}[/tex]
ou
[tex]\boxed{\boxed{\large{B=135\°}}}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\large{C=30\°}}}[/tex]
Solução:
Siga a figura
Dado o triangulo ABC, aonde a esta oposto ao ângulo A, b está oposto ao ângulo B e c oposto ao ângulo C
Como temos dois lados e um ângulo podemos aplicar a lei dos cossenos, logo
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos15\°\\\\\\1=(\sqrt{3}+1)^2+c^2-2c(\sqrt{3}+1)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\\\\\\\not{1}=3+2\sqrt{3}+\not{1}+c^2-2c\left(\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{6}+\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\\\\\\0=3+2\sqrt{2}+c^2-2c\left(\dfrac{\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\\\\\\0=3+2\sqrt{3}+c^2-2c\left(\dfrac{\sqrt{18}+2\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)[/tex]
Seja [tex]\sqrt{18}=3\sqrt{2}[/tex]
[tex]0=3+2\sqrt{3}+c^2-2c\left(\dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\\\\\\0=3+2\sqrt{3}+c^2-2c\left(\dfrac{4\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}\right)\\\\\\0=3+2\sqrt{3}+c^2-2c\cdot2\left(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)\\\\\\0=3+2\sqrt{3}+c^2-\not\!{4}c\left(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\not\!{4}}\right)\\\\\\c^2-c(2\sqrt{2}+\sqrt{6})+(3+2\sqrt{3})=0[/tex]
Equação, do segundo grau, onde [tex]a=1[/tex], [tex]b=-(2\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex] e [tex]c=(3+2\sqrt{3})[/tex] resolvendo temos
[tex]c=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]
onde
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\\\\Delta=(2\sqrt{2}+\sqrt{6})^2-4\cdot1\cdot(3+2\sqrt{3})\\\\\\\Delta=(2\sqrt{2})^2+2\cdot2\sqrt{2}\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2-4(3+2\sqrt{3})\\\\\\\Delta=8+4\overbrace{\sqrt{12}}^{2\sqrt{3}}+6-12-8\sqrt{3}\\\\\\\Delta=2+4\cdot2\sqrt{3}-8\sqrt{3}\\\\\\\Delta=2+\not\!\!\!{8\sqrt{3}}-\not\!\!\!{8\sqrt{3}}\\\\\\\Delta=2[/tex]
Então
[tex]c=\dfrac{-(-(2\sqrt{2}+\sqrt{6}))\pm\sqrt{2}}{2\cdot1}\\\\\\c=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}\\\\\\\\c_1=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\\\\\\c_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\\\\\ou\\\\\\c_2=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\\\\\c_2=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}[/tex]
Ambos os valores para c servem(verificar com a desigualdade triangular), porém vou tomar o [tex]c=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}[/tex]
Tendo c, poderíamos aplicar novamente a lei dos cossenos, porém ela envolve muitos quadrados, então vou recorrer a lei dos senos, mas para isso vamos precisar do sen15°, para isso basta usar a relação fundamental da trigonometria
[tex]sen^215\°+cos^215\°=1[/tex]
Que você vai encontrar [tex]sen15\°=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]
Aplicando então a lei dos senos temos
[tex]\dfrac{a}{sen15\°}=\dfrac{b}{senB}\\\\\\\dfrac{1}{sen15\°}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{senB}\\\\\\senB=sen15\°(\sqrt{3}+1)\\\\\\senB=\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)(\sqrt{3}+1)\\\\\\senB=\dfrac{\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\\\\\senB=\dfrac{\overbrace{\sqrt{18}}^{3\sqrt{2}}-\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\\\\\senB=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}\\\\\\senB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Há vários ângulos B que nos dão [tex]senB=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], mas como o ângulo B está em um triangulo, B só pode ser 45°
Então B=45°
Aplicando novamente a lei dos senos temos
[tex]\dfrac{a}{sen15\°}=\dfrac{c}{senC}\\\\\\\dfrac{1}{sen15\°}=\dfrac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}{senC}\\\\\\senC=sen15\°\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)\\\\\\senC=\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)\\\\\\senC=\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{8}\\\\\\senC=\dfrac{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}{8}\\\\\\senC=\dfrac{6-2}{8}\\\\\\senC=\dfrac{4}{8}\\\\\\senC=\dfrac{1}{2}[/tex]
Para o ângulo C o raciocínio é análogo, em relação ao triangulo há dois ângulos C que resultam 1/2, esses são C=30° ou C=120°, porém C não pode ser 30° se não a soma dos ângulos internos do triangulo não seria 180°. Portanto C=120°
Obs: perceba que se assumirmos B=135°(o que é possível uma vez que [tex]sen135\°=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] e 135°<180°) então C seria um ângulo de 30°, então também essa possibilidade vale como resposta.
