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No desenvolvimento do binômio (x + a/x)6 , o coeficiente do termo em x4 é 12. Qual o valor de a?

Sagot :

niltonjunior20oss764

[tex]\boxed{(a+b)^n=\sum\limits_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{n-p}b^p}[/tex]

[tex]\boxed{T_{p+1}=\binom{n}{p}a^{n-p}b^p}[/tex]

O binômio é:

[tex]\bigg(x+\dfrac{a}{x}\bigg)^6[/tex]

Seu termo geral será:

[tex]T_{p+1}=\dbinom{6}{p}x^{6-p}\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^p\ \therefore\ \boxed{T_{p+1}=\dbinom{6}{p}x^{2(3-p)}a^p}[/tex]

Para o termo [tex]x^4[/tex], o valor de [tex]p[/tex] será:

[tex]2(3-p)=4\ \therefore\ 3-p=2\ \therefore\ \boxed{p=1}[/tex]

Dessa forma:

[tex]T_{1+1}=\dbinom{6}{1}x^{2(3-1)}a^1\ \therefore\ T_2=\dfrac{6!}{1!5!}x^4a\ \therefore\ T_2=6ax^4[/tex]

Mas [tex]T_2=12x^4[/tex], logo:

[tex]12x^4=6ax^4\ \therefore\ 12=6a\ \therefore\ \boxed{a=2}[/tex]

Resposta: o valor de a é 2.

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