Explicação passo-a-passo:
Equações diferenciais separáveis
Dada as equações :
[tex]~~~~~~~~\boxed {\sf{ y'~=~ \dfrac{x^3}{3+\sqrt{y}} } } \\[/tex]
Para resolver a equação antes de nada vamos mudar a notacão do NEWTON e usar a notacão do LEIBNIZ :
[tex]\iff \sf{ \dfrac{dy}{dx}~=~ \dfrac{x^3}{3+\sqrt{y}} } \\[/tex]
Fazendo o produto dos extremos igual ao produto dos meios :
[tex]\iff \sf{(3+\sqrt{y})dy ~=~ x^3dx } \\[/tex]
Separada a equação, vamos aplicar integrais para ambos membros da equação :
[tex]\iff \displaystyle\int\sf{3dy} + \displaystyle\int\sf{\sqrt{y}dy} ~=~\displaystyle\int\sf{x^3dx} \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ 3y }+\displaystyle\int\sf{y^{\frac{1}{2}}} ~=~ \sf{\dfrac{x^4}{4}} \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ 3y + \dfrac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~=~ \dfrac{x^4}{4} } \\[/tex]
[tex]\iff \sf{3y ~=~\dfrac{2\sqrt{y^3}}{3}+\dfrac{x^4}{4} } \\[/tex]
[tex]\red{ \iff \boxed{\sf{y~=~\dfrac{2y\sqrt{y}}{9}+\dfrac{x^4}{4} +C~,com~C\in\mathbb{R} } \sf{ \longleftarrow RESPOSTA } } } \\[/tex][tex]\checkmark [/tex]
Questão 2:
[tex]~~~~~~~~~\boxed{\sf{ 2y'~=~x^2-3x }} \\[/tex]
Fazendo a mesma ginástica ( usar a notação do LEIBNIZ ) .
[tex]\iff \sf{ 2\dfrac{dy}{dx}~=~ x^2-3x } \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ 2dy ~=~ (x^2-3x)dx } \\[/tex]
[tex]\iff \displaystyle\int\sf{2dy} ~=~ \displaystyle\int\sf{x^2dx}-\displaystyle\int\sf{3xdx} \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ 2y ~=~ \dfrac{x^3}{3} - 3*\dfrac{x^2}{2} } \\[/tex]
[tex]\green{\iff \boxed{\sf{ y~=~ \dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3x^2}{4} + k~,com~k\in\mathbb{R} } \sf{ \longleftarrow RESPOSTA } } } \\[/tex][tex]\checkmark [/tex]
ESPERO TER AJUDADO BASTANTE=)
