Utilizando integral de pedaços separadamente para calcular a área do triangula e sabendo a área desta lamina triangular, basta multiplicar ela pela sua densidade α, ficando a massa total de 35α/2.
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente vamos isolar 'y' nas nossas equações para ficar mais simples trabalhar com eles:
[tex]y=3x+2[/tex]
[tex]y=2[/tex]
[tex]y=-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}[/tex]
E podemos ver no gráfico em anexo, mas também é facil concluir, que "y=2" é a reta da base, pois ela é horizontal, e o valor dela sempre é 2, enquanto as outras retas claramente assumem valores maiores que 2 para x positivo, ou seja, elas estão acima de "y=2".
Agora vamos encontrar os pontos de interseção da reta, para isso, basta igualarmos 'y' com 'y' em cada reta:
"y=3x+2" intersecta "y=2" em:
[tex]2=3x+2 \quad \rightarrow \quad x = 0[/tex]
"y=3x+2" intersecta "y=-3x/4 + 23/3" em:
[tex]-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}=3x+2[/tex]
[tex]-3x+23=12x+8[/tex]
[tex]12x+3x=23-8[/tex]
[tex]15x=15[/tex]
[tex]x = 1[/tex]
"y=-3x/4 + 23/3" intersecta "y=2" em:
[tex]-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}=2[/tex]
[tex]-3x+23=8[/tex]
[tex]3x=23-8[/tex]
[tex]3x=15[/tex]
[tex]x=5[/tex]
Com isso podemos concluir que, esta área é definida por: de x = 0 até x = 1, a base dela é "y=2" e limite superior é "y=3x+2", de x = 1 até x = 5 a base dela é "y=2" e o limite superior é "y=-3x/4 + 23/3".
Ou seja, podemos escrever esta área como uma integral dividida em duas partes:
[tex]A=\int_{0}^{1}3x+2\, dx + \int_{1}^{5}-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4} \, dx[/tex]
E esta integral polinomial é simples de se resolver, então vamos a esta:
[tex]A=\int_{0}^{1}3x+2\, dx + \int_{1}^{5}-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4} \, dx[/tex]
[tex]A=\left( \frac{3}{2}x^2+2x \right)_{0}^{1} + \left( -\frac{3}{8}x^2+\frac{23}{4}x \right)_{1}^{5}[/tex]
[tex]A=\left( \frac{3}{2}+2 \right) + \left( -\frac{3}{8}5^2+\frac{23}{4}.5 +\frac{3}{8}-\frac{23}{4} \right)[/tex]
[tex]A=\frac{7}{2} + \left( -\frac{75}{8}+\frac{115}{4} +\frac{3}{8}-\frac{23}{4} \right)[/tex]
[tex]A=\frac{28}{8} -\frac{75}{8}+\frac{230}{8} +\frac{3}{8}-\frac{46}{8} [/tex]
[tex]A=\frac{28 - 75 + 230 + 3 - 46}{8} [/tex]
[tex]A=\frac{140}{8} [/tex]
[tex]A=\frac{35}{2} [/tex]
E sabendo a área desta lamina triangular, basta multiplicar ela pela sua densidade α, ficando a massa total de 35α/2.
