Olá, boa noite.
Seja um setor circular removido de uma folha circular de cartolina, cuja medida do raio é [tex]R=10\pi~cm[/tex]. Ao retirarmos este setor, temos a figura em anexo. O ângulo do setor circular restante é igual a [tex]\alpha[/tex], medido em radianos.
Unindo as duas margens retilíneas do setor restante, formamos um cone circular reto, de raio [tex]r[/tex] e altura [tex]h[/tex] como sugerido pela imagem em anexo.
Com isso, deseja-se encontrar:
a) A expressão do raio [tex]r[/tex] da base em função do ângulo [tex]\alpha[/tex].
De acordo com o próprio enunciado da questão, sabemos que o perímetro do setor circular é igual a [tex]10\pi\alpha[/tex].
Percebe-se que o perímetro deste setor terá a mesma medida do comprimento da circunferência da base. Sabendo que [tex]C=2\pi\cdot r[/tex], teremos:
[tex]2\pi\cdot r=10\pi\alpha[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]2\pi[/tex]
[tex]\dfrac{2\pi\cdot r}{2\pi}=\dfrac{10\pi\alpha}{2\pi}\\\\\\ r=5\alpha[/tex]
b) Determine o volume do cone em função do ângulo [tex]\alpha[/tex]
Sabendo que a fórmula para o volume [tex]V[/tex] de um cone cujo raio da base é igual a [tex]r[/tex] e tem altura [tex]h[/tex] é dado por: [tex]V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}[/tex], devemos ainda determinar a altura [tex]h[/tex] em função do ângulo [tex]\alpha[/tex].
Observe que ao unirmos as duas margens retilíneas, teremos a geratriz do cone. Além disso, forma-se um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é igual a geratriz e seus dois catetos são o raio [tex]r[/tex] e a altura [tex]h[/tex].
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
[tex]g^2=h^2+r^2[/tex]
Substituindo [tex]g=R=10\pi[/tex] e [tex]r=5\alpha[/tex], teremos:
[tex](10\pi)^2=h^2+(5\alpha)^2[/tex]
Calcule as potências
[tex]100\pi^2=h^2+25\alpha^2[/tex]
Isole [tex]h^2[/tex]
[tex]h^2=100\pi^2-25\alpha^2[/tex]
Fatore a expressão
[tex]h^2=25\cdot(4\pi^2-\alpha^2)[/tex]
Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, assumindo a solução positiva
[tex]h=\sqrt{25\cdot(4\pi^2-\alpha^2)}[/tex]
[tex]h=5\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}[/tex]
Então, substitua este resultado na fórmula do volume:
[tex]V(\alpha)=\dfrac{\pi\cdot (5\alpha)^2\cdot 5\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}[/tex]
Calcule a potência e multiplique os termos
[tex]V(\alpha)=\dfrac{125\pi\cdot\alpha^2\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}[/tex]
c) Determine o ângulo [tex]\alpha[/tex] para o qual o volume do cone obtido seja o maior possível.
Para isso, devemos determinar os pontos críticos da função volume:
Derivamos a função:
[tex]\dfrac{d}{d\alpha}(V(\alpha))=\dfrac{d}{d\alpha}\left(\dfrac{125\pi\cdot \alpha^2\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}\right)[/tex]
Veja as regras de derivação na segunda imagem em anexo.
Aplique a regra da constante
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot(\alpha^2\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2})'[/tex]
Aplique a regra do produto
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot((\alpha^2)'\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2})'+\alpha^2\cdot(\sqrt{4\pi^2-\alpha^2})')[/tex]
Aplique a regra da potência e da cadeia, lembrando que [tex]\sqrt{x}=x^{{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot (4\pi^2-\alpha^2)'\cdot (4\pi^2-\alpha^2)^{-\frac{1}{2}}\right)[/tex]
Aplique a regra da soma
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\cdot\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot ((4\pi^2)'-(\alpha^2)')\cdot (4\pi^2-\alpha^2)^{-\frac{1}{2}}\right)[/tex]
Aplique a regra da constante e da potência. Calcule a potência de expoente negativo utilizando a propriedade: [tex]a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},~a\neq0[/tex].
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot (-2\alpha)\cdot \dfrac{1}{(4\pi^2-\alpha^2)^{\frac{1}{2}}}\right)[/tex]
Reescreva a potência de expoente fracionário como radical e multiplique os termos
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}-\dfrac{\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\right)[/tex]
Some as frações
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\dfrac{2\alpha\cdot(4\pi^2-\alpha^2)-\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes
[tex]V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\dfrac{8\pi^2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}[/tex]
Então, iguale esta derivada a zero:
[tex]V'(\alpha)=0\\\\\\ \dfrac{125\pi}{3}\cdot\dfrac{8\pi^2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}=0[/tex]
Resolva a equação para [tex]\alpha[/tex]
[tex]\alpha=\sqrt{\dfrac{8\pi^2}{3}}[/tex]
Calcule o radical
[tex]\alpha=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}[/tex]
Estas são as respostas das questões.
