O comprimeto do fio e a nova frequência é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\frac{T}{2}\Rightarrow \frac{L}{4}\qquad f = 2\cdot \frac{1}{T}\end{aligned}$}[/tex]
Num movimento harmônico simples temos que o período e a frequência é dado por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \qquad f = \frac{1}{T}\end{aligned}$}[/tex]
Portanto, se nosso período é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned}$}[/tex]
Para que o novo período seja T/2, temos que dividir os dois lados por 2:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\frac{T}{2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}{2}\\ \\ \end{aligned}$}[/tex]
Então simplificando e jogando o 2 para dentro da raiz temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\frac{T}{2} &= \frac{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}{2}\\ \\ \frac{T}{2} &= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{g}}\\ \\ \frac{T}{2} &= 2\pi \sqrt{\frac{1}{4}\frac{L}{g}}\\ \\ \frac{T}{2} &= 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g}}\\ \\ \end{aligned}$}[/tex]
Portanto no novo comprimento deve ser:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\frac{T}{2} \Rightarrow \frac{L}{4}\end{aligned}$}[/tex]
Como a frequência é definida como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}f = \frac{1}{T}\end{aligned}$}[/tex]
Se temos metade do período:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}f = \frac{1}{\frac{T}{2}} \Rightarrow 2\cdot \frac{1}{T}\end{aligned}$}[/tex]
Ou seja, o dobro da frequência anterior.
Espero ter ajudado
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