Olá, Ana.
A) Fatoração de 111111:
[tex]111111|3\\ 37037|7\\ 5291|11 \\481|13\\ 37|37 \\1 \\\\ 111111=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37[/tex]
Fatoração de 1001:
[tex]1001| 7\\ 143|11 \\ 13|13\\ 1 \\\\ 1001=7 \cdot 11 \cdot 13[/tex]
Verifica-se facilmente que:
[tex]\boxed{111111=3 \cdot 37 \cdot 1001}[/tex]
Guarde este resultado, porque vamos utilizá-lo na solução da letra "B".
Portanto: 111111 é múltiplo de 1001.
B) [tex]\underbrace{111111...111111}_{2013\ algarismos}=\\\\ =111111\underbrace{000000...}_{2007\ zeros} + 111111\underbrace{000000...}_{2001\ zeros} + 111111\underbrace{000000...}_{1995\ zeros} + ...+ \\\\ + 111111000 + 111=\\\\ =111111 \cdot 10^{2007}+111111 \cdot 10^{2001} + 111111 \cdot 10^{1995} + ...+ \\\\ + 111111 \cdot 10^3 + 111=\\\\ =111111 \cdot (10^{2007}+10^{2001} + 10^{1995} + ...+ 10^3)+111=[/tex]
[tex]=1001 \cdot \underbrace{3 \cdot 37 \cdot (10^{2007}+10^{2001} + 10^{1995} + ...+ 10^3)}_{fator\ que\ multiplica\ 1001}+\underbrace{111}_{RESTO}[/tex]
O fator que multiplica 1001 será exatamente o valor sem decimais do quociente de 111111...111111 (2013 algarismos) dividido por 1001 e o resto, portanto, será 111.
