Olá, boa tarde.
Devemos resolver a seguinte integral:
[tex]\displaystyle{\int x\cdot e^{-\frac{x}{2}}\,dx}[/tex]
Para isso, utilizaremos a técnica de integração por partes.
A fórmula é dada por: [tex]\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}[/tex].
Primeiro, devemos escolher qual função será [tex]u[/tex] e qual será o diferencial [tex]dv[/tex]. Para isso, utilizamos a propriedade LIATE, que consiste em dar prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de [tex]x[/tex]), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.
Assim, façamos [tex]u=x[/tex] e [tex]dv=e^{-\frac{x}{2}}\,dx[/tex].
Diferenciamos a igualdade em [tex]u[/tex] e integramos a igualdade em [tex]dv[/tex]:
[tex](u)'=(x)'\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx}[/tex]
Calcule a derivada da potência, utilizando a regra [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex]. Calcule a integral à esquerda da igualdade, utilizando a regra: [tex]\displaystyle{\int dx=\int 1\,dx=x+C}[/tex]
[tex]du=dx\\\\\\ \displaystyle{v=\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx}[/tex]
Faça uma substituição [tex]t=-\dfrac{x}{2}[/tex] na integral e diferencie ambos os lados da igualdade, a fim de substituir o diferencial [tex]dx[/tex]:
[tex](t)'=\left(-\dfrac{x}{2}\right)'[/tex]
Aplique a regra da constante: [tex](c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)[/tex] e da potência:
[tex]dt=-\dfrac{1}{2}\,dx[/tex]
Então, teremos:
[tex]\displaystyle{v=\int e^t\cdot\left(-\dfrac{dt}{2}\right)}[/tex]
Aplique a regra da constante: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}[/tex] e calcule a integral da função exponencial: [tex]\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C}[/tex]
[tex]\displaystyle{v=-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^t\,dt}\\\\\\ v = -\dfrac{1}{2}\cdot e^t[/tex]
Desfaça a substituição [tex]t=-\dfrac{x}{2}[/tex] e substitua os termos na fórmula de integração por partes.
[tex]v=-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\\\\\\ \displaystyle{x\cdot\left(-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\right)-\int -\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\,dx}[/tex]
Multiplique os termos e aplique a regra da constante
[tex]\displaystyle{-\dfrac{x\cdot e^{-\frac{x}{2}}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \int e^{-\frac{x}{2}}\,dx}[/tex]
Calcule a integral, repetindo os passos anteriores
[tex]-\dfrac{x\cdot e^{-\frac{x}{2}}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\right)[/tex]
Multiplique os termos e adicione a constante de integração
[tex]-\dfrac{x\cdot e^{-\frac{x}{2}}}{2}-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{4} + C,~C\in\mathbb{R}[/tex]
Este é o resultado desta integral.
