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Qual a integral?
\int \:xe^{-\frac{x}{2}}dx
Me ajudem por favor. Gostaria de aprender.

Sagot :

Lliw01

[tex]\displaystyle\int \:xe^{-\frac{x}{2}}dx[/tex]

Se trata de uma integral que pode ser resolvida pela técnica de integração por partes, vou usar essa técnica pois se você tentar integrar por substituição não irá conseguir eliminar a variável x, a técnica de integração por partes nos diz que

[tex]\displaystyle\int u\,dv=u\cdot v-\displaystyle\int v\,du[/tex]

Para isso vamos ter que escolher uma função u para derivar e uma função para integrar e encontrar v, tomando [tex]\mathbf{u=x}[/tex] e derivando em ambos os lados em relação a x chegamos a

[tex]\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dx}{dx}\Rightarrow\boxed{du=dx}[/tex]

Tomando [tex]\mathbf{dv=e^{-\frac{x}{2}}\,dx}[/tex] e integrando em ambos os lados obtemos

[tex]\displaystyle\int dv=\displaystyle\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx[/tex]

  • Relembrando que quando tivermos a integral de [tex]e^{\alpha x}[/tex] com [tex]\alpha\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]\alpha\neq0[/tex], podemos encontrar essa integral da seguinte forma

[tex]\displaystyle\int e^{\alpha x}\.dx=\dfrac{1}{\alpha}\cdot e^{\alpha x}+C[/tex]

Aplicando isso então chegamos que

[tex]\displaystyle\int dv=\displaystyle\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx=\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{x}{2}}+C\Rightarrow \boxed{v=-2e^{-\frac{x}{2}}}[/tex]

Substituindo agora na nossa integral por partes temos:

[tex]\displaystyle\int \overbrace{u}^{x}\,\overbrace{dv}^{e^{-\frac{x}{2}}}=\overbrace{u}^{x}\cdot\overbrace{ v}^{-2e^{-\frac{x}{2}}}-\displaystyle\int \underbrace{v}_{{-2e^{-\frac{x}{2}}}}\,\underbrace{du}_{dx}\\\\\\\\=\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}-\displaystyle\int-2e^{=\frac{x}{2}}dx\\\\\\\\=\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\displaystyle\int e^{=\frac{x}{2}}dx[/tex]

A integral [tex]\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx[/tex] já foi calculada acima e nos dá [tex]-2e^{-\frac{x}{2}}[/tex], por fim:

[tex]\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\displaystyle\int e^{=\frac{x}{2}}dx\\\\\\\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\cdot(-2e^{-\frac{x}{2}})\\[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}-4e^{-\frac{x}{2}}+C}}[/tex]

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