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lim ³√x- ³√2/x-2, x tende a 2​

Sagot :

SubGui

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de limites.

Seja o limite:

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}[/tex]

Reescreveremos a fração utilizando a propriedade da diferença de dois cubos: [tex]a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)[/tex].

Então, considere [tex]a=\sqrt[3]{x}[/tex] e [tex]b=\sqrt[3]{2}[/tex]. Assim, teremos:

[tex](\sqrt[3]{x})^3-(\sqrt[3]{2})^3=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2})\cdot({\sqrt[3]{x}}^2+\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{2}+{\sqrt[3]{2}}^2)[/tex].

Calcule a potência e multiplique os termos

[tex]x-2=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2})\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4})[/tex]

Então, isolamos [tex]\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}[/tex] dividindo ambos os lados da igualdade por [tex]\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}=\dfrac{x-2}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}[/tex]

Assim, o limite se torna:

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\dfrac{x-2}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}}{x-2}[/tex]

Calcule a fração de frações e simplifique-a por um fator [tex]x-2[/tex]

[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x-2)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}\\\\\\ \underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}[/tex]

Por fim, sabendo que a função é contínua em [tex]\mathbb{R}[/tex], aplicamos a propriedade de limites: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)[/tex]

[tex]\dfrac{1}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2\cdot2}+\sqrt[3]{4}}[/tex]

Calcule a potência, multiplique e some os valores

[tex]\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}}\\\\\\ \dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}~~\checkmark[/tex]

Este é o resultado deste limite.

MatiasHP

Olá, siga a explicação:

Sendo:

[tex]\mathrm { \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \dfrac{\sqrt[3]{\mathrm {x} }- \sqrt[3]{\mathrm {2}} } {x-2} \right ) }[/tex]

Logo, Temos de:

[tex]\mathrm {Aplica ~ regra ~ de ~ L' ~ Hospital:} \\ \\ \mathrm { \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \dfrac{ \dfrac{1}{3x ^{\frac{2}{3} } } }{1} \right ) } \\ \\\mathrm { \dfrac{ \dfrac{1}{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3} } } }{1} }[/tex]

Simplifica:

[tex]\boxed { \mathrm {\dfrac{1}{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3} } } \approx 0,20998 \dots} }[/tex]

  • Att. MatiasHP
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