[tex]\text k = \sqrt{\text x+2\sqrt{\text x-1}} + \sqrt{\text x-2\sqrt{\text x-1}}[/tex]
Elevando ao quadrado dos dois lados :
[tex]\text k^2 = (\sqrt{\text x+2\sqrt{\text x-1}})^2 +2.\sqrt{\text x+2\sqrt{\text x-1}}.\sqrt{\text x-2\sqrt{\text x-1}} +(\sqrt{\text x-2\sqrt{\text x-1}})^2[/tex]
[tex]\text k^2 = \text x+2\sqrt{\text x-1}} +2.\sqrt{(\text x+2\sqrt{\text x-1})(\text x-2\sqrt{\text x-1})} + \text x-2\sqrt{\text x-1}}[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{\text x^2-(2\sqrt{\text x-1})^2[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{\text x^2-4(\text x-1})[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{\text x^2-4\text x+4}[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{(\text x-2)^2[/tex]
O enunciado diz que [tex]\text x \in [1,2][/tex], mas se ali dentro da raiz for x =1 temos uma raíz negativa, então ela tem que sair em módulo :
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2|\text x-2|[/tex]
Analisando os casos :
1º [tex]|\text x-2| = \text x - 2 \ , \ \text{se x}-2 \geq 0[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2(\text x-2)[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2\text x-4[/tex]
[tex]\text k^2 = 4.\text x-4[/tex]
[tex]\text k = \sqrt{4.(\text x - 1)}[/tex]
[tex]\text k = 2\sqrt{\text x-1}[/tex]
[tex]\text x - 1 \geq 0 \to \text x \geq 1[/tex] ( só provamos a condição de existência )
2º[tex]|\text x - 2| = -\text x + 2 \ , \ \text{se x}-2 < 0[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x+2(-\text x+2)[/tex]
[tex]\text k^2 = 2.\text x-2\text x+4[/tex]
[tex]\text k^2 = 4[/tex]
[tex]\text k = \pm 2[/tex]
Se as raízes são positivas ao somar com outra raiz positiva vai continuar positiva, logo sinal negativo não convém.
Portanto :
[tex]\huge\boxed{\text k = 2}\checkmark[/tex]
Letra b
