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Resolva a seguinte equação: [tex]2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}-2^{x+2}+2^{x+3}=120[/tex]

Sagot :

Poisson

Olá,

Temos a equação:

[tex] \tt \: {2}^{x - 1} + {2}^{x} + {2}^{x + 1} - {2}^{x + 2} + {2}^{x + 3} = 120[/tex]

Podemos usar a seguinte propriedade para transformar as potências:

[tex]\boxed{ \tt \: {a}^{m + n} = {a}^{m} \cdot \: {m}^{n} \: } \\ [/tex]

Desta forma:

[tex] \tt \: {2}^{x} \cdot{2}^{ - 1} + {2}^{x} + {2}^{x} \cdot {2}^{1} - {2}^{x} \cdot {2}^{2} + {2}^{x} \cdot {2}^{3} = 120 \\ [/tex]

Colocando a potência de x em evidência:

[tex] \tt \: {2}^{x} ( {2}^{ - 1} + 1 + 2 - {2}^{2} + {2}^{3} ) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{1}{2} + 3 - 4 + 8 \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{1}{2} +7 \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{1}{2} + \frac{14}{2} \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{15}{2} \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} = \dfrac{120}{ \dfrac{15}{2} } \\ \\ \tt \: {2}^{x} = 120 \cdot \dfrac{2}{15} \\ \\ \tt \: {2}^{x} = \dfrac{240}{15} \\ \\ \tt \: {2}^{x} = 16 \\ \\ \tt \: {2}^{x} = {2}^{4} \\ \\ \tt \: { \cancel{2}}^{x} = { \cancel{2}}^{4} \\ \\ \tt \: x = 4 \\ [/tex]

Resposta: x = 4.

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