MatiasHP
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[tex]\mathtt { \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{4n^2+8n+3 \~} }[/tex]
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SubGui

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre somatórios.

Seja a soma:

[tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2}{4n^2+8n+3}}[/tex]

Reescreva o denominador como um produto de dois fatores: Observe que podemos fatorá-lo como [tex](2n+1)\cdot(2n+3)[/tex]

[tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2}{(2n+1)\cdot(2n+3)}}[/tex]

Então, utilizamos frações parciais para reescrever esta fração como uma soma de frações

[tex]\dfrac{A}{2n+1}+\dfrac{B}{2n+3}=\dfrac{2}{(2n+1)\cdot(2n+3)}[/tex]

Multiplique ambos os lados da igualdade por [tex](2n+1)\cdot(2n+3)[/tex]

[tex]A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)=2[/tex]

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

[tex]2An+3A+2Bn+B=2[/tex]

Utilizando a propriedade de polinômios identicamente iguais, igualamos os coeficientes de modo a montarmos o seguinte sistema de equações lineares

[tex]\begin{cases}2A+2B=0\\3A+B=2\\\end{cases}[/tex]

Divida ambos os lados da primeira equação por um fator [tex]2[/tex]

[tex]\begin{cases}A+B=0\\3A+B=2\\\end{cases}[/tex]

Utilizamos o método da substituição, subtraindo [tex]A[/tex] em ambos os lados da primeira equação e substituindo [tex]B[/tex] na segunda equação:

[tex]\begin{cases}B=-A\\3A+B=2\\\end{cases}\\\\\\ 3A-A=2[/tex]

Some os valores

[tex]2A=2[/tex]

Divida ambos os lados da equação por um fator [tex]2[/tex]

[tex]A=1[/tex]

Substituindo este resultado na primeira equação isolada, temos o valor de [tex]B[/tex]:

[tex]B=-1[/tex]

Assim, reescrevemos o somatório como:

[tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3}}[/tex]

Considere uma variável [tex]k[/tex] de modo que tenhamos:

[tex]\displaystyle{\underset{k\rightarrow \infty}{\lim}~\sum_{n=1}^k~\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3}}[/tex]

Expandindo o somatório a alguns termos, percebe-se um padrão

[tex]\underset{k\rightarrow \infty}{\lim}~\dfrac{1}{2\cdot1+1}-\dfrac{1}{2\cdot1+3}+\dfrac{1}{2\cdot2+1}-\dfrac{1}{2\cdot2+3}+\cdots+\dfrac{1}{2(k-1)+1}+\dfrac{1}{2(k-1)+3}+\dfrac{1}{2k+1}+\dfrac{1}{2k+3}\\\\\\ \underset{k\rightarrow \infty}{\lim}~\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots-\dfrac{1}{2k+3}[/tex]

Esta é uma soma telescópica, em que apenas o primeiro e último termos são preservados. Assim, o resultado deste somatório é calculado pela expressão:

[tex]\dfrac{1}{3}+\underset{k\rightarrow\infty}{\lim}~-\dfrac{1}{2k+3}[/tex]

Calcule os limites, utilizando a propriedade: [tex]\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}~\dfrac{1}{x}=0[/tex].

[tex]\dfrac{1}{3}-0\\\\\\ \dfrac{1}{3}~~\checkmark[/tex]

Este é o resultado deste somatório.

Skoy
  • O valor da soma é

           [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}\end{gathered}$}[/tex]

Desejamos calcular a seguinte soma

               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} \end{gathered}$}[/tex]

Vamor então abrir em uma fração parcial

    [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} \end{gathered}$}[/tex]

  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A(2n+3)}{(2n+1)} +\frac{B(2n+1)}{(2n+3)} \end{gathered}$}[/tex]

Temos agora que encontrar o valor do A e do B, então , sabendo que os denominadores são iguais, logo os numeradores também serão, logo

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{2}{\cancel{(2n+1)(2n+3)}} = \frac{A(2n+3)}{\cancel{(2n+1)}} +\frac{B(2n+1)}{\cancel{(2n+3)}} \end{gathered}$}[/tex]

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2 = A(2n+3) +B(2n+1) \end{gathered}$}[/tex]

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2 = A\cdot 2n+A\cdot 3+B\cdot 2n+B\end{gathered}$}[/tex]

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2 = 2An+3A+2Bn+B\end{gathered}$}[/tex]

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0n+2 = n\cdot (2A+2B)+(3A+B)\end{gathered}$}[/tex]

Podemos então montar um sistema, assim encontrando os respectivos valor de A e B.    

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases}2A+2B=0\ \ (I)\\ 3A+B=2 \ \ (II)\end{cases}\end{gathered}$}[/tex]

  • Resolvendo esse sisteminha, temos

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3A+B=2\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B=2-3A\ \ (III)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2A+2B=0\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2A+2(2-3A)=0\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2A+4-6A=0\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}-4A=-4\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore A=1\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B=2-3A\ \ (III)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B=2-3(1)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore B=-1\end{gathered}$}[/tex]

Tendo então os valor de A e B, logo

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A}{(2n+1)} +\frac{B}{(2n+3)} \end{gathered}$}[/tex]

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2+8n+3} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)} -\frac{1}{(2n+3)} \end{gathered}$}[/tex]

Vamos então fazer o seguinte, substituimos n e vemos no que dá

    [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases} \frac{1}{2+1} -\frac{1}{2+3} \\\\ \frac{1}{4+1} -\frac{1}{4+3} \\\\ \ \ \cdots\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{3} -\cancel{\frac{1}{5}} \\\\ \cancel{\frac{1}{5}} -\cancel{\frac{1}{7}} \\ \ \ \ \cdots\\ \cancel{\frac{1}{2n+1}} -\frac{1}{2n+3} \end{cases} \end{gathered}$}[/tex]

Perceba que todos os termos iram se cortar, logo, iremos considerar apenas o primeiro termo e o último

      [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \end{gathered}$}[/tex]

    [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}+ \lim_{n \to \infty} -\frac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{3}{n}} \end{gathered}$}[/tex]

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}+ \underbrace{\lim_{n \to \infty} -\frac{0}{2+0} }_{\rightarrow 0} \end{gathered}$}[/tex]

  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore \boxed{\sum_{n=1}^{n} \frac{2}{4n^2+8n+3} = \frac{1}{3}}\end{gathered}$}[/tex]

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