O Sistersinspirit.ca facilita a busca por respostas para suas perguntas com a ajuda de uma comunidade ativa. Encontre soluções rápidas e confiáveis para suas dúvidas de uma comunidade de especialistas dedicados. Explore milhares de perguntas e respostas de uma comunidade de especialistas em nossa plataforma amigável.

Seja F um função de N em R> tal que F(n) = 4F([n/2]) + n quando n >= 2. Mostre que F está em Θ (n²). Sugestão: mostre que 1/4n² <= F(n) <= 8n² para todo n suficientemente grande.



Sagot :

Celio

Olá, Júnior.

 

Como o domínio de F(n) é o conjunto dos números naturais, então F(n) está definida se e somente se n/2 for natural, o que implica que n deve ser par.

 

Portanto, não estão definidas F(3), F(5), F(7), etc.

 

Como F(3), F(5), F(7), ... não estão definidas, então F(6), F(10), F(14) também não estão definidas, pois, pela relação de recorrência, F(6) = 2F(3) + 1, F(10) = 2F(5) + 1, ... e assim por diante.

 

F(n) está definida, portanto, apenas quando n, além de par, for uma potência de 2.

 

Assim:

 

[tex]F(n) = 4F(\frac{n}2) + n, \forall n \geq 2 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} F(2)=4F(1)+2=2^2F(1)+2\cdot \frac22\\ F(4)=4F(2)+4=4[4F(1)+2]=16F(1)+8=4^2F(1)+4\cdot \frac42 \\ F(8)=4F(4)+8=4[16F(1)+8]=64F(1)+32=\\=8^2F(1)+8\cdot \frac82\\ F(16)=4F(8)+16=4[64F(1)+32]+16=256F(1)+128=\\=16^2F(1)+16\cdot \frac{16}2\\ \vdots \end{cases}[/tex]

 

Verifica-se, portanto, que, em geral:

 

[tex]F(n)=n^2F(1)+n\cdot \frac{n}2=n^2F(1)+\frac{n^2}2=n^2\underbrace{[F(1) + \frac12]}_{n\'umero\ real}[/tex]

 

[tex]\therefore \boxed{F(n)=O(n^2)}[/tex]

Obrigado por passar por aqui. Nos esforçamos para fornecer as melhores respostas para todas as suas perguntas. Até a próxima. Agradecemos seu tempo. Por favor, nos revisite para mais respostas confiáveis a qualquer pergunta que possa ter. Temos orgulho de fornecer respostas no Sistersinspirit.ca. Visite-nos novamente para obter mais informações.