Vejamos, dada a função h abaixo:
[tex]\\\boxed{\begin{array}{l}\sf h(x)=3x^2-4x+k\end{array}}\\\\[/tex]
Sabemos pelo enunciado que ela não possui raízes reais. Mas o que isso quer dizer? Primeiro, para que você entenda, analise o que o delta nos diz em cada situação abaixo:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf Se~~\Delta > 0~\to~x'~e~x''\!\in\mathbb{R}~~com~~x'\neq x''\\\\\sf Se~~\Delta=0~\to~x'~e~x''\!\in\mathbb{R}~~com~~x'=x''\\\\\sf Se~~\Delta < 0~\to~x'~e~x''\!\notin\mathbb{R}\\\\\end{array}[/tex]
Ou seja, isso nos diz que:
- Se delta for positivo, terá duas raízes reais e diferentes;
- Se delta for nulo, terá uma só raiz real (duas raízes iguais e reais);
- Se delta for negativo, não terá raízes reais.
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Portanto, como queremos calcular o valor de k, para que o seu valor obedeça ao fato da função não possuir raízes reais, então devemos fazer Δ < 0. (Lembrando que Δ = b² - 4ac).
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Antes vamos identificar os coeficientes da função já que precisamos deles:
[tex]\begin{array}{l}\sf h(x)=3x^2-4x+k\end{array}[/tex]
temos que:
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Continuando...
[tex]\begin{array}{l}\sf\Delta < 0\\\\\sf b^2-4ac < 0\\\\\sf(-4)^2-4\cdot3\cdot k < 0\\\\\sf16-12k < 0\\\\\sf16-12k-16 < 0-16\\\\\sf-12k < -16\\\\\sf(-12k < -16)\cdot(-1)\\\\\sf12k > 16\\\\\sf\dfrac{12k}{12} > \dfrac{16}{12}\\\\\sf k > \dfrac{~~16^{\::\:4}}{~~12^{\::\:4}}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf k > \dfrac{4}{3}}}\\\\\end{array}[/tex]
R: então, k é maior que 4/3 (letra d). Assim, obedece ao fato da função h não possuir raízes reais.
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